Determine e classifique os pontos críticos de f(x, y) = 8y^3 + 12x^2 - 24xy.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente encontrar e classificar os pontos críticos da função . Isso envolve cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a e , encontrar onde elas são iguais a zero (os pontos críticos) e depois analisar essas soluções para determinar a natureza desses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Isso significa derivar tratando como uma constante.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Aqui, derivamos tratando como uma constante.

Passo 4

Os pontos críticos ocorrem onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero. Então, vamos resolver o sistema de equações:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados de cada equação por 24:

Passo 5

Da primeira equação, . Vamos substituir isso na segunda equação:
Isso nos dá duas soluções para :

Passo 6

Substituindo essas soluções de na equação :
  1. Se , então .
  2. Se , então .
Portanto, temos dois pontos críticos: e .

Passo 7

Agora, vamos classificar esses pontos críticos. Para isso, usamos a segunda derivada e o determinante da matriz Hessiana. Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
A matriz Hessiana é:
O determinante da Hessiana é:

Passo 8

Vamos avaliar em cada ponto crítico:
  1. No ponto :
    Como , esse ponto é um ponto de sela.
  2. No ponto :
    Como e , esse ponto é um mínimo local.

Resposta

Os pontos críticos da função são , que é um ponto de sela, e , que é um ponto de mínimo local.

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