Determine e classifique os pontos críticos de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente encontrar e classificar os pontos críticos da função
. Isso envolve cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a
e
, encontrar onde elas são iguais a zero (os pontos críticos) e depois analisar essas soluções para determinar a natureza desses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Isso significa derivar
tratando
como uma constante.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Aqui, derivamos
tratando
como uma constante.
Passo 4
Os pontos críticos ocorrem onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero. Então, vamos resolver o sistema de equações:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados de cada equação por 24:
Passo 5
Da primeira equação,
. Vamos substituir isso na segunda equação:
Isso nos dá duas soluções para
:
Passo 6
Substituindo essas soluções de
na equação
:
- Se
, então . - Se
, então .
Portanto, temos dois pontos críticos:
e
.
Passo 7
Agora, vamos classificar esses pontos críticos. Para isso, usamos a segunda derivada e o determinante da matriz Hessiana. Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
A matriz Hessiana é:
O determinante
da Hessiana é:
Passo 8
Vamos avaliar
em cada ponto crítico:
-
No ponto
: Como, esse ponto é um ponto de sela. -
No ponto
: Comoe , esse ponto é um mínimo local.
Resposta
Os pontos críticos da função são
, que é um ponto de sela, e
, que é um ponto de mínimo local.