Questão: A quantidade demandada por mês de gravação de Walter Serkin da Sonata ao Luar de Beethoven, produzida pela Phonola Record Industries, está relacionada ao preço por CD. A equação
p = -0,00042 x + 6 (0 <= x <= 12000)
onde prepresenta o preço unitário em dólares e x é o número discos demandados, relaciona a demanda ao preço. O custo total mensal (em dólares) para prensar e embalar x cópias dessa gravação clássica é dado por
C(x) = 600 + 2 x - 0,00002 x^2 (0 <= x <= 20000)
Quantas cópias a Phonola deve produzir por mês para maximizar seus lucros?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema sobre quanto a Phonola Record Industries deve produzir da gravação “Sonata ao Luar” para ganhar mais dinheiro possível. Vamos usar conceitos de receita, custo e lucro para resolver isso. Precisamos entender como calcular a receita total, o custo total e, a partir daí, encontrar o lucro. Depois, vamos maximizar esse lucro para descobrir quantas cópias produzir.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a função de receita. A receita total ( ) é o preço de cada CD ( ) multiplicado pela quantidade vendida ( ). A equação do preço é:
Então, a receita fica:

Passo 3

Agora, vamos considerar a função de custo ( ), que já foi dada:
A gente precisa do lucro ( ), que é a receita menos o custo:
Vamos simplificar isso:

Passo 4

Para maximizar o lucro, precisamos encontrar o valor de que faz o lucro ser máximo. Isso envolve derivar a função de lucro em relação a e encontrar onde essa derivada é zero.
A derivada de é:

Passo 5

Agora, vamos igualar a derivada a zero para encontrar o ponto de máximo:
Resolvendo para :

Passo 6

Por segurança, vamos verificar se esse ponto realmente maximiza o lucro usando a segunda derivada. A segunda derivada de é:
Como é negativo, isso confirma que temos um ponto de máximo.

Resposta

A Phonola deve produzir 5.000 cópias por mês para maximizar seus lucros.

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