Questão: A quantidade demandada por mês de gravação de Walter Serkin da Sonata ao Luar de Beethoven, produzida pela Phonola Record Industries, está relacionada ao preço por CD. A equação
onde prepresenta o preço unitário em dólares e
é o número discos demandados, relaciona a demanda ao preço. O custo total mensal (em dólares) para prensar e embalar
cópias dessa gravação clássica é dado por
Quantas cópias a Phonola deve produzir por mês para maximizar seus lucros?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema sobre quanto a Phonola Record Industries deve produzir da gravação “Sonata ao Luar” para ganhar mais dinheiro possível. Vamos usar conceitos de receita, custo e lucro para resolver isso. Precisamos entender como calcular a receita total, o custo total e, a partir daí, encontrar o lucro. Depois, vamos maximizar esse lucro para descobrir quantas cópias produzir.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a função de receita. A receita total (
) é o preço de cada CD (
) multiplicado pela quantidade vendida (
). A equação do preço é:
Então, a receita fica:
Passo 3
Agora, vamos considerar a função de custo (
), que já foi dada:
A gente precisa do lucro (
), que é a receita menos o custo:
Vamos simplificar isso:
Passo 4
Para maximizar o lucro, precisamos encontrar o valor de
que faz o lucro ser máximo. Isso envolve derivar a função de lucro em relação a
e encontrar onde essa derivada é zero.
A derivada de
é:
Passo 5
Agora, vamos igualar a derivada a zero para encontrar o ponto de máximo:
Resolvendo para
:
Passo 6
Por segurança, vamos verificar se esse ponto realmente maximiza o lucro usando a segunda derivada. A segunda derivada de
é:
Como
é negativo, isso confirma que temos um ponto de máximo.
Resposta
A Phonola deve produzir 5.000 cópias por mês para maximizar seus lucros.
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Seja
. Determine a direçâo e o sentido que devemos nos mover, a partir do ponto
a fim de que cresça mais rapidamente. Calcule a derivada direcional de
no ponto
na direçâo e no sentido que você encontrou.
Determine os pontos de máximo e mínimo absolutos de
na regiào triangular de vértices
e
.
Questão: Um recipiente cheio de água com a forma de um cone invertido está sendo esvaziado à taxa de
. A altura do cone é 24 cm e o raio da base é 12 cm . Encontre a velocidade com que baixa o nível da água, quando está a 10 cm do fundo.