Determine a equaçāo do plano tangente à superfície x^2 + y^2 - z^2 = 1 no ponto P:(1, 1, 1).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar a equação do plano tangente à superfície dada por no ponto . Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a derivada parcial para encontrar o vetor normal à superfície no ponto dado.

Passo 2

A equação de um plano tangente a uma superfície no ponto pode ser encontrada usando as derivadas parciais de em relação a , e . A fórmula geral é:
Aqui, , e são as derivadas parciais de em relação a , e , respectivamente.

Passo 3

Vamos identificar da nossa superfície:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais:

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais no ponto :

Passo 5

Agora, substituímos os valores na fórmula da equação do plano tangente:

Passo 6

Vamos simplificar a equação:
Podemos dividir todos os termos por 2 para simplificar:

Resposta

A equação do plano tangente à superfície no ponto é:

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