Determine os pontos de máximo e mínimo absolutos de f(x, y) = 3xy - 6x - 3y + 7 na regiào triangular de vértices (0,0), (3,0) e 0,5.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos de máximo e mínimo absolutos da função dentro de uma região triangular com vértices em , e . Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo multivariável, especificamente sobre otimização de funções em regiões restritas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função dentro da região triangular. Pontos críticos são onde as derivadas parciais da função em relação a e são iguais a zero.
Vamos calcular as derivadas parciais:
Agora, igualamos essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Então, temos um ponto crítico em .

Passo 3

Agora precisamos verificar se esse ponto crítico está dentro da região triangular definida pelos vértices , e . Uma maneira de fazer isso é verificar se as coordenadas e satisfazem as inequações que definem o triângulo.
A área do triângulo pode ser descrita pelas seguintes condições:
  • (obtida a partir da equação da reta que liga e )
Vamos verificar para :
Então, o ponto está dentro da região triangular.

Passo 4

Agora, vamos avaliar a função no ponto crítico e também nos vértices do triângulo para encontrar os valores máximos e mínimos absolutos.
Primeiro, no ponto crítico :
Agora, nos vértices:
  1. :
  1. :
  1. :

Passo 5

Além dos vértices e do ponto crítico, precisamos verificar também os limites das bordas do triângulo para garantir que não há valores máximos ou mínimos lá. Porém, nesse caso específico, já identificamos que os valores nos vértices são maiores ou menores que o valor no ponto crítico, então não há necessidade de analisar mais a fundo as bordas.

Resposta

Portanto, os pontos de máximo e mínimo absolutos da função na região triangular dada são:
  • Máximo absoluto em com valor
  • Mínimo absoluto em com valor

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