Seja . Determine a direçâo e o sentido que devemos nos mover, a partir do ponto a fim de que cresça mais rapidamente. Calcule a derivada direcional de no ponto na direçâo e no sentido que você encontrou.

Passo 1

Resumo do enunciado: Temos a função . Queremos descobrir em qual direção e sentido devemos nos mover a partir do ponto para que a função cresça mais rapidamente. Além disso, precisamos calcular a derivada direcional de nesse ponto na direção encontrada.
Conteúdo da matéria: Vamos usar derivadas parciais e o conceito de gradiente para determinar a direção de crescimento mais rápido. Também utilizaremos a fórmula da derivada direcional.
O que vamos precisar: Calcular as derivadas parciais de em relação a e , formar o vetor gradiente, determinar a direção do gradiente e calcular a derivada direcional nessa direção.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .
A derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Agora, a derivada parcial de em relação a é:

Passo 4

Com as derivadas parciais, podemos formar o vetor gradiente de no ponto :
Vamos calcular:
Então,

Passo 5

A direção em que a função cresce mais rapidamente é dada pela direção do vetor gradiente. Portanto, a direção é .
Para ter uma direção unitária, podemos dividir o gradiente pelo seu comprimento:
Então, a direção unitária é .

Passo 6

A derivada direcional de no ponto na direção é dada por:

Resposta

A direção para a qual cresce mais rapidamente a partir do ponto é e a derivada direcional nessa direção é igual a 3.

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