Seja
. Determine a direçâo e o sentido que devemos nos mover, a partir do ponto
a fim de que cresça mais rapidamente. Calcule a derivada direcional de
no ponto
na direçâo e no sentido que você encontrou.
Passo 1
Resumo do enunciado: Temos a função
. Queremos descobrir em qual direção e sentido devemos nos mover a partir do ponto
para que a função cresça mais rapidamente. Além disso, precisamos calcular a derivada direcional de
nesse ponto na direção encontrada.
Conteúdo da matéria: Vamos usar derivadas parciais e o conceito de gradiente para determinar a direção de crescimento mais rápido. Também utilizaremos a fórmula da derivada direcional.
O que vamos precisar: Calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
, formar o vetor gradiente, determinar a direção do gradiente e calcular a derivada direcional nessa direção.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
A derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, a derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 4
Com as derivadas parciais, podemos formar o vetor gradiente de
no ponto
:
Vamos calcular:
Então,
Passo 5
A direção em que a função cresce mais rapidamente é dada pela direção do vetor gradiente. Portanto, a direção é
.
Para ter uma direção unitária, podemos dividir o gradiente pelo seu comprimento:
Então, a direção unitária é
.
Passo 6
A derivada direcional de
no ponto
na direção
é dada por:
Resposta
A direção para a qual
cresce mais rapidamente a partir do ponto
é
e a derivada direcional nessa direção é igual a 3.