Se
e
, determine
.
Passo 1
Estamos lidando com uma relação de recorrência:
e
. Nosso objetivo é encontrar uma fórmula que nos dê
diretamente, sem precisar calcular todos os termos anteriores. Para isso, vamos usar conceitos de sequências e relações de recorrência.
Passo 2
Vamos começar calculando alguns termos iniciais para entender o comportamento da sequência:
-
Para
: -
Para
: -
Para
: -
Para
:
Vemos que os termos crescem rapidamente. Agora, vamos procurar uma maneira de encontrar uma fórmula geral para
.
Passo 3
Vamos reescrever a relação de recorrência para facilitar a resolução. Dividimos ambos os lados por
:
Simplificando, temos:
Passo 4
Vamos definir uma nova sequência
. Substituindo na equação anterior:
Essa mudança de variável ajuda a simplificar a relação de recorrência.
Passo 5
Agora, temos uma relação mais simples:
Vamos somar os termos dessa relação desde
até
:
Sabemos que
, então:
Passo 6
Vamos simplificar o somatório:
Isso se simplifica para:
Passo 7
Substituindo de volta na expressão de
:
Portanto:
Passo 8
Lembrando que
, substituímos para encontrar
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Resposta
A expressão geral para
é:
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.
admite uma única solução.