Se e , determine .

Passo 1

Estamos lidando com uma relação de recorrência: e . Nosso objetivo é encontrar uma fórmula que nos dê diretamente, sem precisar calcular todos os termos anteriores. Para isso, vamos usar conceitos de sequências e relações de recorrência.

Passo 2

Vamos começar calculando alguns termos iniciais para entender o comportamento da sequência:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Vemos que os termos crescem rapidamente. Agora, vamos procurar uma maneira de encontrar uma fórmula geral para .

Passo 3

Vamos reescrever a relação de recorrência para facilitar a resolução. Dividimos ambos os lados por :
Simplificando, temos:

Passo 4

Vamos definir uma nova sequência . Substituindo na equação anterior:
Essa mudança de variável ajuda a simplificar a relação de recorrência.

Passo 5

Agora, temos uma relação mais simples:
Vamos somar os termos dessa relação desde até :
Sabemos que , então:

Passo 6

Vamos simplificar o somatório:
Isso se simplifica para:

Passo 7

Substituindo de volta na expressão de :
Portanto:

Passo 8

Lembrando que , substituímos para encontrar :
Multiplicando ambos os lados por :

Resposta

A expressão geral para é:

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