Determine as equações do plano tangente e da reta normal no ponto ao elipsoide
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as equações do plano tangente e da reta normal no ponto em relação ao elipsóide dado por . Vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e vetores normais, para chegar nas soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos confirmar se o ponto realmente pertence ao elipsóide. Para isso, substituímos as coordenadas do ponto na equação do elipsóide:
Como o lado esquerdo da equação resulta em 3, que é igual ao lado direito, o ponto está realmente no elipsóide.
Passo 3
Agora, para encontrar o plano tangente, precisamos determinar o vetor normal ao elipsóide no ponto dado. O vetor normal pode ser encontrado usando as derivadas parciais da função que define o elipsóide. Vamos chamar a função de :
As derivadas parciais de são:
Passo 4
Calculando as derivadas no ponto :
Portanto, o vetor normal é .
Passo 5
Agora, a equação do plano tangente pode ser escrita usando a equação geral de um plano:
Onde é o vetor normal e é o ponto de tangência . Substituindo os valores:
Para simplificar, vamos multiplicar todos os termos por 3 para eliminar o denominador:
Expandindo:
Agrupando os termos:
Podemos dividir todos os termos por -1 para deixar a equação mais limpa:
Passo 6
Agora, vamos determinar a equação da reta normal. A reta normal passa pelo ponto e tem como direção o vetor normal . A equação paramétrica da reta pode ser escrita como:
Onde são as componentes do vetor de direção e é o parâmetro. Substituindo os valores: