Determine e classifique os pontos críticos da função
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício pede. Precisamos determinar e classificar os pontos críticos da função
. Isso envolve encontrar onde as derivadas parciais de
em relação a
e
são iguais a zero e, em seguida, analisar a natureza desses pontos (se são máximos, mínimos ou pontos de sela). Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais e usar o teste da segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
.
A derivada parcial de
em relação a
é:
A derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, para encontrar os pontos críticos, igualamos as derivadas parciais a zero e resolvemos o sistema de equações:
Resolvendo a segunda equação:
Passo 4
Agora, substituímos
na primeira equação para encontrar
:
Isso nos dá duas soluções:
Passo 5
Portanto, os pontos críticos são:
Passo 6
Agora, vamos classificar esses pontos críticos usando o teste da segunda derivada. Para isso, precisamos calcular as segundas derivadas:
O discriminante
é dado por:
Passo 7
Vamos calcular
para cada ponto crítico.
Para o ponto (0, -1/2):
Como
, o ponto é um ponto de sela.
Para o ponto (4, -1/2):
Como
e
, o ponto é um mínimo local.
Resposta
Os pontos críticos da função são
, que é um ponto de sela, e
, que é um mínimo local.
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.