Determine e classifique os pontos críticos da função f(x, y) = x^3 + y^2 - 6x^2 + y - 1.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício pede. Precisamos determinar e classificar os pontos críticos da função . Isso envolve encontrar onde as derivadas parciais de em relação a e são iguais a zero e, em seguida, analisar a natureza desses pontos (se são máximos, mínimos ou pontos de sela). Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais e usar o teste da segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e .
A derivada parcial de em relação a é:
A derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos críticos, igualamos as derivadas parciais a zero e resolvemos o sistema de equações:
Resolvendo a segunda equação:

Passo 4

Agora, substituímos na primeira equação para encontrar :
Isso nos dá duas soluções:

Passo 5

Portanto, os pontos críticos são:

Passo 6

Agora, vamos classificar esses pontos críticos usando o teste da segunda derivada. Para isso, precisamos calcular as segundas derivadas:
O discriminante é dado por:

Passo 7

Vamos calcular para cada ponto crítico.
Para o ponto (0, -1/2):
Como , o ponto é um ponto de sela.
Para o ponto (4, -1/2):
Como e , o ponto é um mínimo local.

Resposta

Os pontos críticos da função são , que é um ponto de sela, e , que é um mínimo local.

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