O potencial elétrico é volts em qualquer ponto do plano xy e
(b) Em que direção no ponto o potencial aumenta mais rapidamente? Qual é a taxa máxima de aumento?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre potencial elétrico! A gente tem uma função do potencial no plano xy. O que a gente precisa descobrir é, no ponto , qual a direção em que o potencial aumenta mais rápido e qual é a taxa máxima desse aumento. Para isso, vamos usar o conceito de gradiente na matéria de cálculo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o gradiente. O gradiente de uma função nos dá uma direção e uma magnitude que indicam a taxa de variação mais rápida dessa função. Matematicamente, o gradiente é um vetor formado pelas derivadas parciais de em relação a e :
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de .
Primeiro, a derivada parcial em relação a :
Agora, a derivada parcial em relação a :
Passo 4
Agora que temos as derivadas parciais, vamos montar o vetor gradiente:
Passo 5
Vamos calcular o gradiente no ponto específico :
Simplificando:
Então:
Passo 6
A direção em que o potencial aumenta mais rapidamente é a direção do vetor gradiente. Então, a direção é a direção do vetor . Para ter a direção unitária, dividimos pelo módulo do vetor:
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Ou seja, a direção é na direção negativa do eixo .
Passo 7
A taxa máxima de aumento do potencial é o módulo do gradiente no ponto:
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Resposta
No ponto , o potencial aumenta mais rapidamente na direção negativa do eixo , ou seja, na direção . A taxa máxima de aumento é volts por unidade de distância.