O potencial elétrico é V(x, y) volts em qualquer ponto do plano xy e
V(x, y) = e^(-2 x) cos(2 y)
(b) Em que direção no ponto (0, pi/4) o potencial aumenta mais rapidamente? Qual é a taxa máxima de aumento?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre potencial elétrico! A gente tem uma função do potencial no plano xy. O que a gente precisa descobrir é, no ponto , qual a direção em que o potencial aumenta mais rápido e qual é a taxa máxima desse aumento. Para isso, vamos usar o conceito de gradiente na matéria de cálculo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o gradiente. O gradiente de uma função nos dá uma direção e uma magnitude que indicam a taxa de variação mais rápida dessa função. Matematicamente, o gradiente é um vetor formado pelas derivadas parciais de em relação a e :

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de .
Primeiro, a derivada parcial em relação a :
Agora, a derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora que temos as derivadas parciais, vamos montar o vetor gradiente:

Passo 5

Vamos calcular o gradiente no ponto específico :
Simplificando:
Então:

Passo 6

A direção em que o potencial aumenta mais rapidamente é a direção do vetor gradiente. Então, a direção é a direção do vetor . Para ter a direção unitária, dividimos pelo módulo do vetor:
çã
Ou seja, a direção é na direção negativa do eixo .

Passo 7

A taxa máxima de aumento do potencial é o módulo do gradiente no ponto:
â

Resposta

No ponto , o potencial aumenta mais rapidamente na direção negativa do eixo , ou seja, na direção . A taxa máxima de aumento é volts por unidade de distância.

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g(x, y) = raiz(x^(2/2) + y^(2/3))
é diferenciável na origem.
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