integral cos ^2 t sin t d t

Passo 1

Então, você quer resolver a integral . Estamos lidando com cálculo integral, especificamente com técnicas de substituição. Para resolver isso, vamos usar a substituição que simplifica a integral usando uma mudança de variável.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que pode ser substituída para simplificar a integral. Nesse caso, a parte parece um bom candidato.

Passo 3

Vamos definir du = -sin t , dt . Agora, precisamos calcular a derivada de -sin t , dt = du ou sin t , dt = -du em relação a para substituir :
Isso significa que:

Passo 4

Agora, substituímos integral cos^2 t sin t , dt = integral u^2 cdot (-du) = -integral u^2 , du e na integral original:

Passo 5

Vamos integrar -integral u^2 , du = -( u^33 ) + C = -u^33 + C . A integral de em relação a é , então:

Passo 6

Agora, substituímos -u^33 + C = -(cos t)^33 + C = -cos^3 t3 + C de volta para :

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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