Encontre dy/dx e d²y/dx² das curvas dadas abaixo. Para quais valores de de t a curva é côncava para cima? x = 2 sen(t), y = 3 cos(t), 0 < t < 2 pi.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o enunciado. Temos as equações paramétricas de uma curva:
Nosso objetivo é encontrar a primeira derivada de em relação a , ou seja, , e a segunda derivada . Além disso, queremos saber para quais valores de a curva é côncava para cima.
Para resolver isso, vamos precisar usar o cálculo diferencial para curvas paramétricas, onde é o parâmetro.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar e . Essas derivadas nos ajudarão a calcular usando a regra da cadeia:
Calculando as derivadas:

Passo 3

Agora, substituímos e na fórmula de :
Então, a primeira derivada é:

Passo 4

Para encontrar a segunda derivada , precisamos derivar em relação a e depois dividir por :
Primeiro, derivamos em relação a :
Agora, dividimos por :
Sabemos que , então:

Passo 5

Agora, queremos determinar para quais valores de a curva é côncava para cima. A concavidade está relacionada ao sinal da segunda derivada:
  • Se , a curva é côncava para cima.
  • Se , a curva é côncava para baixo.
Observando nossa expressão para a segunda derivada:
Sabemos que , então:
  • é positiva quando , ou seja, nos intervalos e dentro de .
  • é negativa quando , ou seja, nos intervalos dentro de .
Como a segunda derivada tem um sinal negativo multiplicado por , ela será:
  • Negativa quando for positiva.
  • Positiva quando for negativa.
Portanto, quando , ou seja, para:

Resposta

A primeira derivada é , a segunda derivada é . A curva é côncava para cima para valores de no intervalo .

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