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das curvas dadas abaixo. Para quais valores de de
a curva é côncava para cima?
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o enunciado. Temos as equações paramétricas de uma curva:
Nosso objetivo é encontrar a primeira derivada de
em relação a
, ou seja,
, e a segunda derivada
. Além disso, queremos saber para quais valores de
a curva é côncava para cima.
Para resolver isso, vamos precisar usar o cálculo diferencial para curvas paramétricas, onde
é o parâmetro.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar
e
. Essas derivadas nos ajudarão a calcular
usando a regra da cadeia:
Calculando as derivadas:
Passo 3
Agora, substituímos
e
na fórmula de
:
Então, a primeira derivada é:
Passo 4
Para encontrar a segunda derivada
, precisamos derivar
em relação a
e depois dividir por
:
Primeiro, derivamos
em relação a
:
Agora, dividimos por
:
Sabemos que
, então:
Passo 5
Agora, queremos determinar para quais valores de
a curva é côncava para cima. A concavidade está relacionada ao sinal da segunda derivada:
- Se
, a curva é côncava para cima. - Se
, a curva é côncava para baixo.
Observando nossa expressão para a segunda derivada:
Sabemos que
, então:
-
é positiva quando , ou seja, nos intervalos e dentro de . -
é negativa quando , ou seja, nos intervalos dentro de .
Como a segunda derivada tem um sinal negativo multiplicado por
, ela será:
- Negativa quando
for positiva. - Positiva quando
for negativa.
Portanto,
quando
, ou seja, para:
Resposta
A primeira derivada é
, a segunda derivada é
. A curva é côncava para cima para valores de
no intervalo
.
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.
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