Verifique se a função
g(x, y) = raiz(x^(2/2) + y^(2/3))
é diferenciável na origem.

Passo 1

Então, a gente tem o exercício de verificar se a função
é diferenciável na origem . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre continuidade e derivadas parciais de funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função pra facilitar. Observe que:
Então, nossa função fica:
Aqui, usamos o valor absoluto de porque a raiz quadrada de um número negativo não é real.

Passo 3

Agora, precisamos verificar se a função é contínua na origem. Uma função é contínua nesse ponto se o limite dela quando se aproxima de for igual ao valor da função nesse ponto.
Vamos calcular:
Como , a função é contínua na origem.

Passo 4

Em seguida, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e na origem.
A derivada parcial em relação a é:
E em relação a :
No entanto, ao tentar avaliar essas derivadas em , encontramos um problema: a expressão envolve uma divisão por zero, o que significa que as derivadas parciais não existem nesse ponto.

Passo 5

Como as derivadas parciais não existem na origem, isso nos indica que a função não é diferenciável nesse ponto. Para uma função ser diferenciável na origem, ela precisa ter derivadas parciais que existam e sejam contínuas nesse ponto.

Resposta

A função não é diferenciável na origem .

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