Verifique se a função
é diferenciável na origem.
Passo 1
Então, a gente tem o exercício de verificar se a função
é diferenciável na origem
. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre continuidade e derivadas parciais de funções de várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função pra facilitar. Observe que:
Então, nossa função fica:
Aqui, usamos o valor absoluto de
porque a raiz quadrada de um número negativo não é real.
Passo 3
Agora, precisamos verificar se a função é contínua na origem. Uma função é contínua nesse ponto se o limite dela quando
se aproxima de
for igual ao valor da função nesse ponto.
Vamos calcular:
Como
, a função é contínua na origem.
Passo 4
Em seguida, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
na origem.
A derivada parcial em relação a
é:
E em relação a
:
No entanto, ao tentar avaliar essas derivadas em
, encontramos um problema: a expressão envolve uma divisão por zero, o que significa que as derivadas parciais não existem nesse ponto.
Passo 5
Como as derivadas parciais não existem na origem, isso nos indica que a função
não é diferenciável nesse ponto. Para uma função ser diferenciável na origem, ela precisa ter derivadas parciais que existam e sejam contínuas nesse ponto.
Resposta
A função
não é diferenciável na origem
.
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Faça apenas um dos itens abaixo
(a) Água está fluindo para dentro de um tanque com a forma de um cilindro circular reto a uma taxa de . O tanque está aumentando de tal forma que se mantenha cilíndrico, com o raio crescendo a uma taxa de
. Quāo rápido está se elevando a superfície da água quando o raio for 2 m e o volume de água no tanque for
. (Sugestão: use regra da cadeia).
(a) Água está fluindo para dentro de um tanque com a forma de um cilindro circular reto a uma taxa de
Verifique se as funções dadas são contínuas na origem
a)
a)
O potencial elétrico é
volts em qualquer ponto do plano xy e
(b) Em que direção no ponto
o potencial aumenta mais rapidamente? Qual é a taxa máxima de aumento?
Determine e classifique os pontos críticos da função
.