Verifique se a função
g(x, y) = raiz(x^(2/2) + y^(2/3))
é diferenciável na origem.

Passo 1

Então, a gente tem o exercício de verificar se a função
é diferenciável na origem . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre continuidade e derivadas parciais de funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função pra facilitar. Observe que:
Então, nossa função fica:
Aqui, usamos o valor absoluto de porque a raiz quadrada de um número negativo não é real.

Passo 3

Agora, precisamos verificar se a função é contínua na origem. Uma função é contínua nesse ponto se o limite dela quando se aproxima de for igual ao valor da função nesse ponto.
Vamos calcular:
Como , a função é contínua na origem.

Passo 4

Em seguida, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e na origem.
A derivada parcial em relação a é:
E em relação a :
No entanto, ao tentar avaliar essas derivadas em , encontramos um problema: a expressão envolve uma divisão por zero, o que significa que as derivadas parciais não existem nesse ponto.

Passo 5

Como as derivadas parciais não existem na origem, isso nos indica que a função não é diferenciável nesse ponto. Para uma função ser diferenciável na origem, ela precisa ter derivadas parciais que existam e sejam contínuas nesse ponto.

Resposta

A função não é diferenciável na origem .

Exercícios relacionados

Faça apenas um dos itens abaixo
(a) Água está fluindo para dentro de um tanque com a forma de um cilindro circular reto a uma taxa de 4/5 pi m^3 / min. O tanque está aumentando de tal forma que se mantenha cilíndrico, com o raio crescendo a uma taxa de 0,2 cm/min. Quāo rápido está se elevando a superfície da água quando o raio for 2 m e o volume de água no tanque for 20 pi m^3. (Sugestão: use regra da cadeia).
Verifique se as funções dadas são contínuas na origem
a) f(x, y) = { (x * y) / (x^2 + y^2) se (x, y) != (0, 0) ; 0 se (x, y) = (0, 0) }
O potencial elétrico é V(x, y) volts em qualquer ponto do plano xy e
V(x, y) = e^(-2 x) cos(2 y)
(b) Em que direção no ponto (0, pi/4) o potencial aumenta mais rapidamente? Qual é a taxa máxima de aumento?
Determine e classifique os pontos críticos da função f(x, y) = x^3 + y^2 - 6x^2 + y - 1.