Determine e classifique os pontos críticos da função
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar e classificar os pontos críticos da função
. Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especialmente derivadas parciais e testes de segunda derivada para classificar os pontos críticos.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde as derivadas parciais em relação a todas as variáveis são iguais a zero. Então, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Passo 3
Calculando a derivada parcial em relação a
:
E em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos igualar cada derivada parcial a zero para encontrar os pontos críticos:
Passo 5
Resolvendo a equação para
:
Fatorando:
Passo 6
Agora, resolvendo a equação para
:
Fatorando:
Passo 7
Combinando os valores de
e
, encontramos os pontos críticos:
Passo 8
Agora, vamos classificar cada ponto crítico usando o teste da segunda derivada. Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
Passo 9
O discriminante
é dado por:
Dependendo do valor de
e
, podemos classificar o ponto como mínimo local, máximo local ou ponto de sela.
Passo 10
Vamos calcular
e
para cada ponto crítico:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Resposta
Os pontos críticos da função são:
-
: Mínimo Local -
: Ponto de Sela -
: Ponto de Sela -
: Máximo Local