Determine e classifique os pontos críticos da função f(x, y) = x^3 + y^3 + 9 x^2 - 3 y^2 + 15 x - 9 y.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar e classificar os pontos críticos da função . Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especialmente derivadas parciais e testes de segunda derivada para classificar os pontos críticos.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde as derivadas parciais em relação a todas as variáveis são iguais a zero. Então, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .

Passo 3

Calculando a derivada parcial em relação a :
E em relação a :

Passo 4

Agora, vamos igualar cada derivada parcial a zero para encontrar os pontos críticos:

Passo 5

Resolvendo a equação para :
Fatorando:

Passo 6

Agora, resolvendo a equação para :
Fatorando:

Passo 7

Combinando os valores de e , encontramos os pontos críticos:

Passo 8

Agora, vamos classificar cada ponto crítico usando o teste da segunda derivada. Primeiro, calculamos as segundas derivadas:

Passo 9

O discriminante é dado por:
Dependendo do valor de e , podemos classificar o ponto como mínimo local, máximo local ou ponto de sela.

Passo 10

Vamos calcular e para cada ponto crítico:
  1. Para :
í
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
á

Resposta

Os pontos críticos da função são:
  • : Mínimo Local
  • : Ponto de Sela
  • : Ponto de Sela
  • : Máximo Local

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