Determine e classifique os pontos críticos das funções abaixo:

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar e classificar os pontos críticos da função . Esse problema está relacionado ao estudo de cálculo diferencial, especificamente ao encontrar e analisar os pontos onde a derivada da função é zero ou não existe. Para resolver, vamos precisar calcular a derivada da função, encontrar onde ela é igual a zero e então classificar esses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada nos dá a taxa de variação da função em cada ponto, e é essencial para encontrar os pontos críticos.
A derivada de é calculada assim:
Calculando cada termo separadamente:
Então, juntando tudo:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Pontos críticos são os valores de onde a derivada é igual a zero ou não existe. No nosso caso, a derivada é um polinômio, que existe para todo , então só precisamos resolver:
Essa é uma equação quadrática, e podemos resolvê-la usando a fórmula de Bhaskara:
Em nossa equação, , , e . Substituindo:
Isso nos dá duas soluções:
Então, temos dois pontos críticos: e .

Passo 4

Agora, vamos classificar esses pontos críticos para saber se são máximos locais, mínimos locais ou pontos de inflexão. Para isso, usamos a segunda derivada da função.
Primeiro, encontramos a segunda derivada :
Agora, avaliamos a segunda derivada nos pontos críticos:
Para :
Como a segunda derivada é positiva, é um mínimo local.
Para :
Como a segunda derivada é negativa, é um máximo local.

Resposta

A função tem dois pontos críticos: , que é um mínimo local, e , que é um máximo local.

Exercícios relacionados

, onde são numeros reais diferentes de zero.
.
Determine e classifique os pontos críticos das funções abaixo:
Calcule os limites abaixo utilizando a regra de L