Determine e classifique os pontos críticos das funções abaixo:
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar e classificar os pontos críticos da função
. Esse problema está relacionado ao estudo de cálculo diferencial, especificamente ao encontrar e analisar os pontos onde a derivada da função é zero ou não existe. Para resolver, vamos precisar calcular a derivada da função, encontrar onde ela é igual a zero e então classificar esses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos dá a taxa de variação da função em cada ponto, e é essencial para encontrar os pontos críticos.
A derivada de
é calculada assim:
Calculando cada termo separadamente:
Então, juntando tudo:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Pontos críticos são os valores de
onde a derivada
é igual a zero ou não existe. No nosso caso, a derivada é um polinômio, que existe para todo
, então só precisamos resolver:
Essa é uma equação quadrática, e podemos resolvê-la usando a fórmula de Bhaskara:
Em nossa equação,
,
, e
. Substituindo:
Isso nos dá duas soluções:
Então, temos dois pontos críticos:
e
.
Passo 4
Agora, vamos classificar esses pontos críticos para saber se são máximos locais, mínimos locais ou pontos de inflexão. Para isso, usamos a segunda derivada da função.
Primeiro, encontramos a segunda derivada
:
Agora, avaliamos a segunda derivada nos pontos críticos:
Para
:
Como a segunda derivada é positiva,
é um mínimo local.
Para
:
Como a segunda derivada é negativa,
é um máximo local.
Resposta
A função
tem dois pontos críticos:
, que é um mínimo local, e
, que é um máximo local.
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