Determine e classifique os pontos críticos das funções abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar e classificar os pontos críticos da função
. Esse problema está ligado ao estudo de derivadas na matéria de Cálculo, onde vamos precisar calcular a primeira derivada da função para achar os pontos críticos. Depois, vamos analisar esses pontos para ver se são máximos, mínimos ou pontos de inflexão.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a primeira derivada da função
. A função dada é
. Para derivar, vamos reescrever a raiz quadrada como potência fracionária:
Agora, usamos a regra do produto para derivar:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, que são os valores de
onde
ou onde
não está definida.
Primeiro, igualamos
a zero:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Expandindo:
Fatorando:
Então, temos
ou
que dá
.
Além disso, verificamos onde
não está definida. A raiz
está definida para
, então
só não está definida em
. Porém,
está na fronteira do domínio da função.
Passo 4
Agora, vamos classificar os pontos críticos
e
.
Para isso, vamos usar o teste da primeira derivada:
-
Em
: - Para
, por exemplo , vai ser negativo. - Para
, por exemplo , vai ser positivo. - Isso indica que a função muda de decrescente para crescente, então
é um mínimo local.
- Para
-
Em
: - Para
, por exemplo , é positivo. - Para
, por exemplo , é negativo. - Isso indica que a função muda de crescente para decrescente, então
é um máximo local.
- Para
Resposta
A função
tem dois pontos críticos:
-
: mínimo local. -
: máximo local.
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Calcule os limites abaixo utilizando a regra de L
Utilize o significado geométrico da integral para concluir que:
.