Determine e classifique os pontos críticos das funções abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar e classificar os pontos críticos da função . Esse problema está ligado ao estudo de derivadas na matéria de Cálculo, onde vamos precisar calcular a primeira derivada da função para achar os pontos críticos. Depois, vamos analisar esses pontos para ver se são máximos, mínimos ou pontos de inflexão.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a primeira derivada da função . A função dada é . Para derivar, vamos reescrever a raiz quadrada como potência fracionária:
Agora, usamos a regra do produto para derivar:
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, que são os valores de onde ou onde não está definida.
Primeiro, igualamos a zero:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar o denominador:
Expandindo:
Fatorando:
Então, temos ou que dá .
Além disso, verificamos onde não está definida. A raiz está definida para , então só não está definida em . Porém, está na fronteira do domínio da função.

Passo 4

Agora, vamos classificar os pontos críticos e .
Para isso, vamos usar o teste da primeira derivada:
  1. Em :
    • Para , por exemplo , vai ser negativo.
    • Para , por exemplo , vai ser positivo.
    • Isso indica que a função muda de decrescente para crescente, então é um mínimo local.
  2. Em :
    • Para , por exemplo , é positivo.
    • Para , por exemplo , é negativo.
    • Isso indica que a função muda de crescente para decrescente, então é um máximo local.

Resposta

A função tem dois pontos críticos:
  • : mínimo local.
  • : máximo local.

Exercícios relacionados

Determine e classifique os pontos críticos das funções abaixo:
, onde são numeros reais diferentes de zero.
Calcule os limites abaixo utilizando a regra de L
Utilize o significado geométrico da integral para concluir que:
.