lim x 0 tg(a x)tg(b x), onde a, b são numeros reais diferentes de zero.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar o limite quando se aproxima de 0 da expressão , onde e são números reais diferentes de zero. Aqui, vamos usar conceitos de limites e propriedades das funções trigonométricas, especificamente da tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando tan(a x) approx a x e tan(b x) approx b x está bem perto de 0, a função tangente pode ser aproximada por . Isso acontece porque, para ângulos pequenos, a tangente de é quase igual a (em radianos). Então, podemos dizer que:

Passo 3

Agora, substituindo essas aproximações na expressão original, temos:
tan(a x)tan(b x) approx a xb x
Os termos ab no numerador e no denominador se cancelam, deixando:

Passo 4

Como fizemos essa aproximação válida para próximo de 0, podemos concluir que o limite da expressão original também será igual a .

Resposta

lim x 0 tan(a x)tan(b x) = ab

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