lim x 0^+(cos x)^1 / x^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para calcular o limite de quando se aproxima de 0 pela direita. Aqui, estamos trabalhando com o conceito de limites, especificamente limitando expressões que envolvem funções trigonométricas e exponenciais. Para resolver, vamos precisar usar propriedades de logaritmos e exponenciais para transformar a expressão e facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que acontece com quando se aproxima de 0. Sabemos que , então tende a 1 quando se aproxima de 0. Assim, temos uma forma do tipo , que é uma indeterminação. Para resolver esses casos, podemos usar logaritmos.

Passo 3

Vamos aplicar o logaritmo natural na expressão para facilitar o limite. Se chamarmos o limite original de L = limx to 0^+ (cos x)^1 / x^2 , teremos:
ln L = limx to 0^+ ln(cos x)x^2
Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados:
Agora, nosso objetivo é calcular e depois encontrar exponenciando o resultado.

Passo 4

Vamos analisar o limite cos x approx 1 - x^22 . Para isso, vamos usar uma aproximação da função ln(cos x) approx ln(1 - x^22) quando ln(1 - x^22) approx -x^22 é próximo de 0. Sabemos que:
Tomando o logaritmo natural dessa aproximação:
Para pequenos valores de , usamos a aproximação quando é próximo de 0:

Passo 5

Substituindo essa aproximação no limite:
limx to 0^+ ln(cos x)x^2 approx limx to 0^+ -x^22x^2 = limx to 0^+ -12 = -12
Então, .

Passo 6

Agora, para encontrar L = e^-12 = 1raize , basta aplicar a função exponencial nos dois lados da equação :

Resposta

O limite é igual a .

Exercícios relacionados