.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para calcular o limite de
quando
se aproxima de 0 pela direita. Aqui, estamos trabalhando com o conceito de limites, especificamente limitando expressões que envolvem funções trigonométricas e exponenciais. Para resolver, vamos precisar usar propriedades de logaritmos e exponenciais para transformar a expressão e facilitar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o que acontece com
quando
se aproxima de 0. Sabemos que
, então
tende a 1 quando
se aproxima de 0. Assim, temos uma forma do tipo
, que é uma indeterminação. Para resolver esses casos, podemos usar logaritmos.
Passo 3
Vamos aplicar o logaritmo natural na expressão para facilitar o limite. Se chamarmos o limite original de
, teremos:
Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados:
Agora, nosso objetivo é calcular
e depois encontrar
exponenciando o resultado.
Passo 4
Vamos analisar o limite
. Para isso, vamos usar uma aproximação da função
quando
é próximo de 0. Sabemos que:
Tomando o logaritmo natural dessa aproximação:
Para pequenos valores de
, usamos a aproximação
quando
é próximo de 0:
Passo 5
Substituindo essa aproximação no limite:
Então,
.
Passo 6
Agora, para encontrar
, basta aplicar a função exponencial nos dois lados da equação
:
Resposta
O limite
é igual a
.
Exercícios relacionados
Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função
que é paralela à reta
.
Determine e classifique os pontos críticos das funções abaixo: