.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para calcular o limite de quando se aproxima de 0 pela direita. Aqui, estamos trabalhando com o conceito de limites, especificamente limitando expressões que envolvem funções trigonométricas e exponenciais. Para resolver, vamos precisar usar propriedades de logaritmos e exponenciais para transformar a expressão e facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que acontece com quando se aproxima de 0. Sabemos que , então tende a 1 quando se aproxima de 0. Assim, temos uma forma do tipo , que é uma indeterminação. Para resolver esses casos, podemos usar logaritmos.

Passo 3

Vamos aplicar o logaritmo natural na expressão para facilitar o limite. Se chamarmos o limite original de , teremos:
Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados:
Agora, nosso objetivo é calcular e depois encontrar exponenciando o resultado.

Passo 4

Vamos analisar o limite . Para isso, vamos usar uma aproximação da função quando é próximo de 0. Sabemos que:
Tomando o logaritmo natural dessa aproximação:
Para pequenos valores de , usamos a aproximação quando é próximo de 0:

Passo 5

Substituindo essa aproximação no limite:
Então, .

Passo 6

Agora, para encontrar , basta aplicar a função exponencial nos dois lados da equação :

Resposta

O limite é igual a .

Exercícios relacionados

.
Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função que é paralela à reta .
, onde são numeros reais diferentes de zero.
Determine e classifique os pontos críticos das funções abaixo: