Determine e classifique os pontos críticos das funções abaixo:
(d) f(x) = 1/4 * x^4 - 5/3 * x^3 + 4 * x^2 - 4 * x + 8

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função bem legal para analisar os pontos críticos dela. O enunciado é:
Matéria envolvida: Cálculo, especificamente derivadas e pontos críticos.
O que precisamos para resolver: Vamos precisar calcular a primeira derivada da função, encontrar onde essa derivada é igual a zero ou não existe, e então classificar esses pontos críticos para saber se são máximos, mínimos ou pontos de inflexão.

Passo 2

Primeiro passo: Encontrar a primeira derivada da função.
A derivada nos ajuda a entender a taxa de variação da função. Para nossa função , vamos derivar termo por termo usando as regras básicas de derivação.
A regra básica é: se , então .
Aplicando isso:
(constante)
Juntando tudo:

Passo 3

Agora que temos a primeira derivada, vamos encontrar onde ela é igual a zero ou não existe. Esses pontos são os candidatos a serem os pontos críticos.
Nossa primeira derivada é um polinômio:
Polinômios são funções contínuas e diferenciáveis em todo lugar, então não precisamos nos preocupar com pontos onde a derivada não existe. Portanto, vamos resolver:

Passo 4

Vamos resolver a equação cúbica:
Resolver equações de terceiro grau pode ser um pouco trabalhoso, mas vamos tentar encontrar as raízes.
Primeiro, tentamos valores inteiros que sejam divisores do termo independente (no caso, 4). Testamos :
Funcionou! Então é uma raiz. Agora, vamos fatorar da equação cúbica usando divisão polinomial ou fatoração.
Dividindo por , obtemos:
Agora, resolvemos :
Isso é um quadrado perfeito:
Então, as raízes da derivada são e (sendo que é uma raiz dupla).

Passo 5

Agora que temos os pontos críticos e , vamos classificá-los para saber se são máximos, mínimos ou pontos de inflexão.
Para isso, usamos a segunda derivada.
Primeiro, encontramos a segunda derivada :
Derivando novamente:
Agora, avaliamos a segunda derivada nos pontos críticos:
  1. Para :
Como , isso indica que é um mínimo local.
  1. Para :
Quando a segunda derivada é zero, precisamos usar outro método para classificar o ponto. Vamos usar a derivada primeira.
Analisamos o sinal de em torno de :
  • Para , por exemplo, :
  • Para , por exemplo, :
Como a derivada não muda de sinal ao passar por , isso indica que é um ponto de inflexão, não sendo nem máximo nem mínimo.

Resposta

Os pontos críticos da função são:
  • : Mínimo local
  • : Ponto de inflexão

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