Determine e classifique os pontos críticos das funções abaixo:
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função bem legal para analisar os pontos críticos dela. O enunciado é:
Matéria envolvida: Cálculo, especificamente derivadas e pontos críticos.
O que precisamos para resolver: Vamos precisar calcular a primeira derivada da função, encontrar onde essa derivada é igual a zero ou não existe, e então classificar esses pontos críticos para saber se são máximos, mínimos ou pontos de inflexão.
Passo 2
Primeiro passo: Encontrar a primeira derivada da função.
A derivada nos ajuda a entender a taxa de variação da função. Para nossa função
, vamos derivar termo por termo usando as regras básicas de derivação.
A regra básica é: se
, então
.
Aplicando isso:
Juntando tudo:
Passo 3
Agora que temos a primeira derivada, vamos encontrar onde ela é igual a zero ou não existe. Esses pontos são os candidatos a serem os pontos críticos.
Nossa primeira derivada é um polinômio:
Polinômios são funções contínuas e diferenciáveis em todo lugar, então não precisamos nos preocupar com pontos onde a derivada não existe. Portanto, vamos resolver:
Passo 4
Vamos resolver a equação cúbica:
Resolver equações de terceiro grau pode ser um pouco trabalhoso, mas vamos tentar encontrar as raízes.
Primeiro, tentamos valores inteiros que sejam divisores do termo independente (no caso, 4). Testamos
:
Funcionou! Então
é uma raiz. Agora, vamos fatorar
da equação cúbica usando divisão polinomial ou fatoração.
Dividindo
por
, obtemos:
Agora, resolvemos
:
Isso é um quadrado perfeito:
Então, as raízes da derivada são
e
(sendo que
é uma raiz dupla).
Passo 5
Agora que temos os pontos críticos
e
, vamos classificá-los para saber se são máximos, mínimos ou pontos de inflexão.
Para isso, usamos a segunda derivada.
Primeiro, encontramos a segunda derivada
:
Derivando novamente:
Agora, avaliamos a segunda derivada nos pontos críticos:
- Para
:
Como
, isso indica que
é um mínimo local.
- Para
:
Quando a segunda derivada é zero, precisamos usar outro método para classificar o ponto. Vamos usar a derivada primeira.
Analisamos o sinal de
em torno de
:
- Para
, por exemplo, :
- Para
, por exemplo, :
Como a derivada não muda de sinal ao passar por
, isso indica que
é um ponto de inflexão, não sendo nem máximo nem mínimo.
Resposta
Os pontos críticos da função são:
-
: Mínimo local -
: Ponto de inflexão