Determine e classifique os pontos críticos das funções abaixo:
(b) f(x) = 4x - x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar e classificar os pontos críticos da função dada: . Para isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente a derivada da função. Precisamos encontrar onde a derivada é igual a zero ou não existe, e depois descobrir se esses pontos são máximos, mínimos ou pontos de inflexão.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada nos dá a taxa de variação da função em relação a . Para , aplicamos as regras de derivação:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Esses pontos acontecem onde a derivada é igual a zero ou não existe. No nosso caso, sempre existe, então vamos igualar a derivada a zero:
Então, o ponto crítico está em .

Passo 4

Para classificar o ponto crítico, ou seja, dizer se é um máximo ou mínimo, vamos usar a segunda derivada da função. A segunda derivada nos ajuda a entender a concavidade da função:
A segunda derivada é constante e igual a , que é negativa. Quando a segunda derivada é negativa em um ponto crítico, significa que a função tem um máximo local naquele ponto.

Resposta

A função possui um ponto crítico em . Esse ponto é um máximo local.

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