Determine e classifique os pontos críticos das funções abaixo:
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar e classificar os pontos críticos da função dada:
. Para isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente a derivada da função. Precisamos encontrar onde a derivada é igual a zero ou não existe, e depois descobrir se esses pontos são máximos, mínimos ou pontos de inflexão.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos dá a taxa de variação da função em relação a
. Para
, aplicamos as regras de derivação:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Esses pontos acontecem onde a derivada é igual a zero ou não existe. No nosso caso,
sempre existe, então vamos igualar a derivada a zero:
Então, o ponto crítico está em
.
Passo 4
Para classificar o ponto crítico, ou seja, dizer se é um máximo ou mínimo, vamos usar a segunda derivada da função. A segunda derivada nos ajuda a entender a concavidade da função:
A segunda derivada é constante e igual a
, que é negativa. Quando a segunda derivada é negativa em um ponto crítico, significa que a função tem um máximo local naquele ponto.
Resposta
A função
possui um ponto crítico em
. Esse ponto é um máximo local.