Determine e classifique os pontos críticos das funções abaixo:
(b) f(x) = 4x - x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar e classificar os pontos críticos da função dada: . Para isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente a derivada da função. Precisamos encontrar onde a derivada é igual a zero ou não existe, e depois descobrir se esses pontos são máximos, mínimos ou pontos de inflexão.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada nos dá a taxa de variação da função em relação a . Para , aplicamos as regras de derivação:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Esses pontos acontecem onde a derivada é igual a zero ou não existe. No nosso caso, sempre existe, então vamos igualar a derivada a zero:
Então, o ponto crítico está em .

Passo 4

Para classificar o ponto crítico, ou seja, dizer se é um máximo ou mínimo, vamos usar a segunda derivada da função. A segunda derivada nos ajuda a entender a concavidade da função:
A segunda derivada é constante e igual a , que é negativa. Quando a segunda derivada é negativa em um ponto crítico, significa que a função tem um máximo local naquele ponto.

Resposta

A função possui um ponto crítico em . Esse ponto é um máximo local.

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© <span class="math-inline ">
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</body></html>
<html><head></head><body><div>Determine e classifique os pontos críticos das funções abaixo:<br>
(d) <span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.816ex;” xmlns=“
http://www.w3.org/2000/svg” width=“33.502ex” height=“2.773ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -864.9 14808.1 1225.5”><title>f(x) = 1/4 * x^4 - 5/3 * x^3 + 4 * x^2 - 4 * x + 8</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D453” d=“M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 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</body></html>
<html><head></head><body><div>Determine e classifique os pontos críticos das funções abaixo:<br>
(f) <span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.985ex;” xmlns=“
http://www.w3.org/2000/svg” width=“11.969ex” height=“2.959ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -872.7 5290.4 1308”><title>f(x) = 4x / (x^2 + 4)</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D453” d=“M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” 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