Determine e classifique os pontos críticos das funções abaixo:
(j)
(j)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar e classificar os pontos críticos da função
. Isso envolve cálculo de derivadas e análise de funções. Vamos precisar saber como derivar funções polinomiais e entender o que são pontos críticos.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função
, ou seja,
. Os pontos críticos ocorrem onde a derivada é zero ou não existe. Para derivar
, vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 3
Aplicando a regra do produto:
Calculando as derivadas individuais:
Substituindo de volta na expressão da derivada:
Passo 4
Vamos fatorar
para simplificar:
Simplificando o que está dentro dos colchetes:
Então, a derivada fica:
Passo 5
Agora, para encontrar os pontos críticos, igualamos
a zero:
Isso nos dá as soluções:
Portanto, os pontos críticos são
,
e
.
Passo 6
Agora vamos classificar cada ponto crítico usando a derivada segunda ou analisando o comportamento da função.
Para simplificar, vamos verificar o sinal da derivada em torno de cada ponto crítico:
-
Em
: - Para
, digamos , . - Para
, digamos , .
Como a derivada muda de positiva para negativa,é um ponto de máximo local. - Para
-
Em
: - A derivada aqui é zero, e como o fator
é ao quadrado, a derivada não muda de sinal. Então, não há mudança no comportamento da função.
Portanto,é um ponto de inflexão. - A derivada aqui é zero, e como o fator
-
Em
: - Para
, digamos , . - Para
, digamos , .
Como a derivada muda de negativa para positiva,é um ponto de mínimo local. - Para
Resposta
Os pontos críticos da função
são:
-
: ponto de máximo local. -
: ponto de mínimo local. -
: ponto de inflexão.