Determine e classifique os pontos críticos das funções abaixo:
(j) f(x) = (x + 2)^(2) * (x - 1)^(3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar e classificar os pontos críticos da função . Isso envolve cálculo de derivadas e análise de funções. Vamos precisar saber como derivar funções polinomiais e entender o que são pontos críticos.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função , ou seja, . Os pontos críticos ocorrem onde a derivada é zero ou não existe. Para derivar , vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 3

Aplicando a regra do produto:
Calculando as derivadas individuais:
Substituindo de volta na expressão da derivada:

Passo 4

Vamos fatorar para simplificar:
Simplificando o que está dentro dos colchetes:
Então, a derivada fica:

Passo 5

Agora, para encontrar os pontos críticos, igualamos a zero:
Isso nos dá as soluções:
Portanto, os pontos críticos são , e .

Passo 6

Agora vamos classificar cada ponto crítico usando a derivada segunda ou analisando o comportamento da função.
Para simplificar, vamos verificar o sinal da derivada em torno de cada ponto crítico:
  • Em :
    • Para , digamos , .
    • Para , digamos , .
    Como a derivada muda de positiva para negativa, é um ponto de máximo local.
  • Em :
    • A derivada aqui é zero, e como o fator é ao quadrado, a derivada não muda de sinal. Então, não há mudança no comportamento da função.
    Portanto, é um ponto de inflexão.
  • Em :
    • Para , digamos , .
    • Para , digamos , .
    Como a derivada muda de negativa para positiva, é um ponto de mínimo local.

Resposta

Os pontos críticos da função são:
  • : ponto de máximo local.
  • : ponto de mínimo local.
  • : ponto de inflexão.

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