Em que pontos o gráfico das funções a seguir têm retas tangentes horizontais?
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Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pergunta em quais pontos o gráfico da função
tem retas tangentes horizontais. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação das retas tangentes em qualquer ponto da curva.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que uma reta tangente horizontal significa que a inclinação dessa reta é zero. Em termos de cálculo, isso quer dizer que a derivada da função nesse ponto é igual a zero. Então, nosso objetivo é encontrar os valores de
para os quais a derivada de
é zero.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
. A derivada de
em relação a
é:
Isso nos dá a inclinação da tangente em qualquer ponto
da função.
Passo 4
Agora, queremos encontrar os pontos onde a derivada é zero, ou seja:
Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de
que satisfazem essa condição.
Passo 5
A equação
é satisfeita para valores de
onde o cosseno de
é zero. Sabemos que isso acontece nos pontos:
Isso significa que a derivada de
é zero em
,
,
, e assim por diante, para cada múltiplo inteiro de
adicionado a
.
Resposta
Os gráficos de
têm retas tangentes horizontais nos pontos onde: