Em que pontos o gráfico das funções a seguir têm retas tangentes horizontais?
© f(x) = sen x

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pergunta em quais pontos o gráfico da função tem retas tangentes horizontais. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação das retas tangentes em qualquer ponto da curva.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que uma reta tangente horizontal significa que a inclinação dessa reta é zero. Em termos de cálculo, isso quer dizer que a derivada da função nesse ponto é igual a zero. Então, nosso objetivo é encontrar os valores de para os quais a derivada de é zero.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de . A derivada de em relação a é:
Isso nos dá a inclinação da tangente em qualquer ponto da função.

Passo 4

Agora, queremos encontrar os pontos onde a derivada é zero, ou seja:
Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de que satisfazem essa condição.

Passo 5

A equação é satisfeita para valores de onde o cosseno de é zero. Sabemos que isso acontece nos pontos:
é
Isso significa que a derivada de é zero em , , , e assim por diante, para cada múltiplo inteiro de adicionado a .

Resposta

Os gráficos de têm retas tangentes horizontais nos pontos onde:

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