Determine e classifique os pontos críticos das funções abaixo:
(f)
(f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar e classificar os pontos críticos da função
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente sobre derivadas. Precisamos encontrar onde a derivada da função é zero ou não existe, pois esses pontos são os candidatos a serem críticos. Depois, vamos classificar esses pontos para ver se são máximos, mínimos ou pontos de inflexão.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A função é uma fração, então usamos a regra do quociente para derivar:
Passo 3
Vamos simplificar a derivada:
Passo 4
Agora, vamos encontrar os pontos onde a derivada é zero ou não existe. O denominador
nunca é zero porque
é sempre positivo. Então, só precisamos resolver:
Passo 5
Então, os pontos críticos são
e
. Agora, vamos classificar esses pontos para ver se são máximos ou mínimos locais. Para isso, podemos usar a segunda derivada.
Passo 6
Primeiro, vamos encontrar a segunda derivada
. Vamos derivar
:
Usando a regra do quociente novamente:
Isso simplifica para:
Passo 7
Agora, avaliamos a segunda derivada nos pontos críticos
e
:
Para
:
Como
, significa que
é um ponto de máximo local.
Para
:
Como
, significa que
é um ponto de mínimo local.
Resposta
Os pontos críticos da função
são
(máximo local) e
(mínimo local).