Determine e classifique os pontos críticos das funções abaixo:
(f) f(x) = 4x / (x^2 + 4)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar e classificar os pontos críticos da função . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente sobre derivadas. Precisamos encontrar onde a derivada da função é zero ou não existe, pois esses pontos são os candidatos a serem críticos. Depois, vamos classificar esses pontos para ver se são máximos, mínimos ou pontos de inflexão.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A função é uma fração, então usamos a regra do quociente para derivar:

Passo 3

Vamos simplificar a derivada:

Passo 4

Agora, vamos encontrar os pontos onde a derivada é zero ou não existe. O denominador nunca é zero porque é sempre positivo. Então, só precisamos resolver:

Passo 5

Então, os pontos críticos são e . Agora, vamos classificar esses pontos para ver se são máximos ou mínimos locais. Para isso, podemos usar a segunda derivada.

Passo 6

Primeiro, vamos encontrar a segunda derivada . Vamos derivar :
Usando a regra do quociente novamente:
Isso simplifica para:

Passo 7

Agora, avaliamos a segunda derivada nos pontos críticos e :
Para :
Como , significa que é um ponto de máximo local.
Para :
Como , significa que é um ponto de mínimo local.

Resposta

Os pontos críticos da função são (máximo local) e (mínimo local).

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