Determine e classifique os pontos críticos das funções abaixo.
18a
Determine e classifique os pontos críticos das funções abaixo:
, onde
.
18a
Determine e classifique os pontos críticos das funções abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar e classificar os pontos críticos da função
no intervalo
. Isso envolve cálculo diferencial, mais especificamente derivadas, para encontrar onde a derivada da função é zero ou não existe.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são pontos críticos. Eles são os valores de
onde a derivada da função
é igual a zero ou onde
não existe. Esses pontos podem ser máximos, mínimos ou pontos de inflexão.
Passo 3
Vamos começar calculando a derivada da função
. Para isso, usamos a regra da cadeia:
Passo 4
Agora que temos a derivada
, vamos encontrar onde ela é igual a zero ou onde ela não existe.
Quando
:
Então,
é um ponto onde a derivada é zero.
Quando
não existe:
A derivada não existe quando o denominador é zero, ou seja, quando
.
Então,
e
são pontos onde a derivada não existe.
Passo 5
Agora, vamos classificar esses pontos críticos.
- Em
:
Para determinar se é um máximo ou mínimo, vamos analisar o comportamento da derivada ao redor de
.
Para
, digamos
:
Para
, digamos
:
Como a derivada muda de positiva para negativa passando por
, isso indica um ponto de máximo.
- Em
e :
Esses pontos são os limites do intervalo. Vamos avaliar os valores da função nesses pontos:
Como esses são os pontos finais do intervalo e a função atinge seu valor mínimo nesses pontos, podemos classificá-los como pontos de mínimo relativos.
Resposta
Os pontos críticos da função
no intervalo
são:
-
: ponto de máximo. -
e : pontos de mínimo.
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Suponha que
represente uma distribuição de temperatura no plano
. (Admita que
e
sejam dados em
e a temperatura em
.) Um indivíduo encontra-se na posição
e pretende dar um passeio. Qual a direção e sentido que ele deverá tomar se for seu desejo caminhar na direção de menor crescimento da temperatura? Qual é a menor taxa de variação instantânea de temperatura nesse ponto?
Esboce o gráfico de cada uma das funções definidas abaixo:
.