Determine e classifique os pontos críticos das funções abaixo.
18a
Determine e classifique os pontos críticos das funções abaixo: f(x) = raiz(1 - x^2), onde x em [-1, 1].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar e classificar os pontos críticos da função no intervalo . Isso envolve cálculo diferencial, mais especificamente derivadas, para encontrar onde a derivada da função é zero ou não existe.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são pontos críticos. Eles são os valores de onde a derivada da função é igual a zero ou onde não existe. Esses pontos podem ser máximos, mínimos ou pontos de inflexão.

Passo 3

Vamos começar calculando a derivada da função . Para isso, usamos a regra da cadeia:

Passo 4

Agora que temos a derivada , vamos encontrar onde ela é igual a zero ou onde ela não existe.
Quando :
Então, é um ponto onde a derivada é zero.
Quando não existe:
A derivada não existe quando o denominador é zero, ou seja, quando .
Então, e são pontos onde a derivada não existe.

Passo 5

Agora, vamos classificar esses pontos críticos.
  • Em :
Para determinar se é um máximo ou mínimo, vamos analisar o comportamento da derivada ao redor de .
Para , digamos :
Para , digamos :
Como a derivada muda de positiva para negativa passando por , isso indica um ponto de máximo.
  • Em e :
Esses pontos são os limites do intervalo. Vamos avaliar os valores da função nesses pontos:
Como esses são os pontos finais do intervalo e a função atinge seu valor mínimo nesses pontos, podemos classificá-los como pontos de mínimo relativos.

Resposta

Os pontos críticos da função no intervalo são:
  • : ponto de máximo.
  • e : pontos de mínimo.

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