Esboce o gráfico de cada uma das funções definidas abaixo:
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão pede. Temos que fazer o esboço do gráfico da função
. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções racionais e como elas se comportam. Vamos dar uma olhada nos pontos-chave que nos ajudarão a desenhar esse gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o domínio da função. O domínio são todos os valores de
para os quais a função está definida. Como o denominador é
e
é sempre positivo, o denominador nunca será zero. Portanto, o domínio é todos os números reais, ou seja,
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as interceptações com os eixos. Para a interceptação com o eixo
, colocamos
:
Então, a função passa pela origem
.
Para a interceptação com o eixo
, resolvemos
:
Isso ocorre quando
. Portanto, a única interceptação com os eixos é na origem.
Passo 4
Vamos determinar o comportamento da função para
positivos e negativos. Como
é sempre positivo, a função será sempre positiva ou zero. Além disso, como
cresce mais rápido que
quando
tende ao infinito, vamos analisar os limites:
Isso nos mostra que a função se aproxima de 1 quando
vai para o infinito positivo ou negativo.
Passo 5
Para entender melhor o formato do gráfico, vamos calcular a derivada da função para encontrar os pontos de máximo ou mínimo. A derivada de
é:
Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar pontos críticos:
Como já sabemos que
, temos um ponto crítico na origem. Para saber se é máximo ou mínimo, podemos ver que a derivada muda de sinal em
, indicando que a função tem um ponto de mínimo ali.
Passo 6
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
- A função passa pela origem
. - Ela é sempre positiva ou zero.
- �� medida que
aumenta ou diminui, a função se aproxima de 1. - Não há outros pontos de máximo ou mínimo além da origem.
Resposta
O gráfico de
é uma curva simétrica em relação ao eixo
, começando na origem, subindo e se aproximando de
conforme
vai para
.
Exercícios relacionados
Suponha que
represente uma distribuição de temperatura no plano
. (Admita que
e
sejam dados em
e a temperatura em
.) Um indivíduo encontra-se na posição
e pretende dar um passeio. Qual a direção e sentido que ele deverá tomar se for seu desejo caminhar na direção de menor crescimento da temperatura? Qual é a menor taxa de variação instantânea de temperatura nesse ponto?
Determine e classifique os pontos críticos das funções abaixo.
18a
Determine e classifique os pontos críticos das funções abaixo: , onde
.
18a
Determine e classifique os pontos críticos das funções abaixo:
Suponha que
represente uma distribuição de temperatura no plano
. (Admita que
e
sejam dados em
e a temperatura em
.) Um indivíduo encontra-se na posição
e pretende dar um passeio. Qual a direção e sentido que ele deverá tomar se for seu desejo caminhar na direção de maior crescimento da temperatura? Qual é a maior taxa de variação instantânea de temperatura nesse ponto?
Calcule a derivada de primeira ordem de cada uma das funções abaixo:
.