Esboce o gráfico de cada uma das funções definidas abaixo: f(x) = x^2 / (1 + x^2).

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão pede. Temos que fazer o esboço do gráfico da função . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções racionais e como elas se comportam. Vamos dar uma olhada nos pontos-chave que nos ajudarão a desenhar esse gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o domínio da função. O domínio são todos os valores de para os quais a função está definida. Como o denominador é e é sempre positivo, o denominador nunca será zero. Portanto, o domínio é todos os números reais, ou seja, .

Passo 3

Agora, vamos encontrar as interceptações com os eixos. Para a interceptação com o eixo , colocamos :
Então, a função passa pela origem .
Para a interceptação com o eixo , resolvemos :
Isso ocorre quando . Portanto, a única interceptação com os eixos é na origem.

Passo 4

Vamos determinar o comportamento da função para positivos e negativos. Como é sempre positivo, a função será sempre positiva ou zero. Além disso, como cresce mais rápido que quando tende ao infinito, vamos analisar os limites:
Isso nos mostra que a função se aproxima de 1 quando vai para o infinito positivo ou negativo.

Passo 5

Para entender melhor o formato do gráfico, vamos calcular a derivada da função para encontrar os pontos de máximo ou mínimo. A derivada de é:
Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar pontos críticos:
Como já sabemos que , temos um ponto crítico na origem. Para saber se é máximo ou mínimo, podemos ver que a derivada muda de sinal em , indicando que a função tem um ponto de mínimo ali.

Passo 6

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
  • A função passa pela origem .
  • Ela é sempre positiva ou zero.
  • �� medida que aumenta ou diminui, a função se aproxima de 1.
  • Não há outros pontos de máximo ou mínimo além da origem.

Resposta

O gráfico de é uma curva simétrica em relação ao eixo , começando na origem, subindo e se aproximando de conforme vai para .

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