Suponha que
represente uma distribuição de temperatura no plano
. (Admita que
e
sejam dados em
e a temperatura em
.) Um indivíduo encontra-se na posição
e pretende dar um passeio. Qual a direção e sentido que ele deverá tomar se for seu desejo caminhar na direção de menor crescimento da temperatura? Qual é a menor taxa de variação instantânea de temperatura nesse ponto?
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. Temos uma função que representa a temperatura no plano
:
Um indivíduo está na posição
e quer caminhar na direção onde a temperatura cresce menos, ou seja, a direção de menor crescimento da temperatura. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre gradiente e taxas de variação.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função temperatura
. O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e sua magnitude representa a taxa máxima de aumento.
Para calcular o gradiente, precisamos das derivadas parciais de
em relação a
e a
.
Então, o gradiente
é:
Passo 3
Agora, vamos calcular o gradiente no ponto específico
:
Esse vetor
aponta na direção de maior aumento da temperatura.
Passo 4
Como o indivíduo quer caminhar na direção de menor crescimento da temperatura, ele deve seguir na direção oposta ao gradiente. Isso significa que a direção desejada é o vetor oposto a
, que é
.
Para simplificar, podemos normalizar esse vetor para obter a direção unitária:
Primeiro, calculamos a magnitude do vetor
:
Então, a direção unitária é:
Passo 5
Agora, vamos determinar a menor taxa de variação instantânea da temperatura nesse ponto. Isso está relacionado à derivada direcional na direção escolhida.
A derivada direcional na direção do gradiente é a máxima taxa de aumento, e na direção oposta (que escolhemos) é a mínima taxa de variação.
A menor taxa de variação é igual ao negativo da magnitude do gradiente:
Portanto, a menor taxa de variação instantânea é
.
Resposta
O indivíduo deve caminhar na direção de
km, ou seja, na direção oposta ao gradiente da temperatura. A menor taxa de variação instantânea da temperatura nesse ponto é
.