Suponha que T(x, y) = 40 - x^2 - 2y^2 represente uma distribuição de temperatura no plano x y. (Admita que x e y sejam dados em k m e a temperatura em C.) Um indivíduo encontra-se na posição (3,2) e pretende dar um passeio. Qual a direção e sentido que ele deverá tomar se for seu desejo caminhar na direção de menor crescimento da temperatura? Qual é a menor taxa de variação instantânea de temperatura nesse ponto?

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. Temos uma função que representa a temperatura no plano xy:
Um indivíduo está na posição e quer caminhar na direção onde a temperatura cresce menos, ou seja, a direção de menor crescimento da temperatura. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre gradiente e taxas de variação.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função temperatura T(x, y). O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e sua magnitude representa a taxa máxima de aumento.
Para calcular o gradiente, precisamos das derivadas parciais de T em relação a x e a y.
Então, o gradiente é:

Passo 3

Agora, vamos calcular o gradiente no ponto específico :
Esse vetor aponta na direção de maior aumento da temperatura.

Passo 4

Como o indivíduo quer caminhar na direção de menor crescimento da temperatura, ele deve seguir na direção oposta ao gradiente. Isso significa que a direção desejada é o vetor oposto a , que é .
Para simplificar, podemos normalizar esse vetor para obter a direção unitária:
Primeiro, calculamos a magnitude do vetor :
Então, a direção unitária é:

Passo 5

Agora, vamos determinar a menor taxa de variação instantânea da temperatura nesse ponto. Isso está relacionado à derivada direcional na direção escolhida.
A derivada direcional na direção do gradiente é a máxima taxa de aumento, e na direção oposta (que escolhemos) é a mínima taxa de variação.
A menor taxa de variação é igual ao negativo da magnitude do gradiente:
Portanto, a menor taxa de variação instantânea é .

Resposta

O indivíduo deve caminhar na direção de km, ou seja, na direção oposta ao gradiente da temperatura. A menor taxa de variação instantânea da temperatura nesse ponto é .

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