Determine e classifique os pontos críticos das funções abaixo:
(h) f(x) = (x + 1) / (x^2 - 2x + 2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar e classificar os pontos críticos da função . Para isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente derivadas, que vão nos ajudar a encontrar onde a função tem seus pontos críticos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são pontos críticos. Eles são os valores de onde a derivada da função é zero ou não existe. Esses pontos são importantes porque eles podem indicar máximos, mínimos ou pontos de inflexão na curva da função.

Passo 3

Vamos começar calculando a derivada da função . Como essa função é uma fração, vamos usar a regra do quociente para derivar:

Passo 4

Agora, vamos simplificar o numerador da derivada:
Então, a derivada simplificada fica:

Passo 5

Agora, vamos encontrar onde a derivada é zero ou não existe. A derivada será zero quando o numerador for zero:
Multiplicando ambos os lados por -1 para facilitar:

Passo 6

Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , e :
Então, os valores de são e .

Passo 7

Agora, vamos verificar se a derivada está definida nesses pontos. O denominador nunca é zero porque o discriminante do denominador é negativo ( ). Portanto, não há pontos onde a derivada não está definida.

Passo 8

Com isso, nossos pontos críticos são e . Agora, vamos classificar esses pontos usando a segunda derivada.

Passo 9

Vamos calcular a segunda derivada da função . Isso pode ser um pouco trabalhoso, mas essencial para determinar a concavidade e classificar os pontos críticos.
Depois de calcular , vamos avaliar em cada ponto crítico:
  • Se , então temos um mínimo local.
  • Se , então temos um máximo local.

Passo 10

Após realizar os cálculos, encontramos que:
  • Para , → Mínimo local.
  • Para , → Máximo local.

Resposta

Os pontos críticos da função são:
  • → Mínimo local.
  • → Máximo local.

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