Determine e classifique os pontos críticos das funções abaixo:
(h)
(h)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar e classificar os pontos críticos da função
. Para isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente derivadas, que vão nos ajudar a encontrar onde a função tem seus pontos críticos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são pontos críticos. Eles são os valores de
onde a derivada da função
é zero ou não existe. Esses pontos são importantes porque eles podem indicar máximos, mínimos ou pontos de inflexão na curva da função.
Passo 3
Vamos começar calculando a derivada da função
. Como essa função é uma fração, vamos usar a regra do quociente para derivar:
Passo 4
Agora, vamos simplificar o numerador da derivada:
Então, a derivada simplificada fica:
Passo 5
Agora, vamos encontrar onde a derivada é zero ou não existe. A derivada será zero quando o numerador for zero:
Multiplicando ambos os lados por -1 para facilitar:
Passo 6
Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
e
:
Então, os valores de
são
e
.
Passo 7
Agora, vamos verificar se a derivada está definida nesses pontos. O denominador
nunca é zero porque o discriminante do denominador é negativo (
). Portanto, não há pontos onde a derivada não está definida.
Passo 8
Com isso, nossos pontos críticos são
e
. Agora, vamos classificar esses pontos usando a segunda derivada.
Passo 9
Vamos calcular a segunda derivada da função
. Isso pode ser um pouco trabalhoso, mas essencial para determinar a concavidade e classificar os pontos críticos.
Depois de calcular
, vamos avaliar em cada ponto crítico:
- Se
, então temos um mínimo local. - Se
, então temos um máximo local.
Passo 10
Após realizar os cálculos, encontramos que:
- Para
, → Mínimo local. - Para
, → Máximo local.
Resposta
Os pontos críticos da função
são:
-
→ Mínimo local. -
→ Máximo local.