Seja f uma função polinomial de grau 3 . Sejam c1 e c2 dois pontos críticos distintos de f. Mostre que f''(c1) = -f''(c2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que, se é um polinômio de terceiro grau e e são dois pontos críticos distintos de , então . Isso está relacionado ao estudo de derivadas, especificamente às derivadas primeira e segunda de funções polinomiais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são pontos críticos. São os pontos onde a derivada primeira da função é zero, ou seja, e . Como é um polinômio de grau 3, sua derivada primeira será um polinômio de grau 2.

Passo 3

Vamos chamar a derivada primeira de de . Como é de grau 3, podemos escrever:
onde é uma constante real e , são as raízes da derivada primeira, ou seja, os pontos críticos.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a derivada segunda de , que é a derivada de . Calculando, temos:
Simplificando:

Passo 5

Vamos calcular substituindo na expressão de :

Passo 6

De forma similar, calculamos substituindo :

Passo 7

Observamos que:
Portanto:

Resposta

Concluímos que quando é um polinômio de terceiro grau com pontos críticos distintos e .

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