Seja
uma função polinomial de grau 3 . Sejam
e
dois pontos críticos distintos de
. Mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que, se
é um polinômio de terceiro grau e
e
são dois pontos críticos distintos de
, então
. Isso está relacionado ao estudo de derivadas, especificamente às derivadas primeira e segunda de funções polinomiais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são pontos críticos. São os pontos onde a derivada primeira da função é zero, ou seja,
e
. Como
é um polinômio de grau 3, sua derivada primeira será um polinômio de grau 2.
Passo 3
Vamos chamar a derivada primeira de
de
. Como
é de grau 3, podemos escrever:
onde
é uma constante real e
,
são as raízes da derivada primeira, ou seja, os pontos críticos.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a derivada segunda de
, que é a derivada de
. Calculando, temos:
Simplificando:
Passo 5
Vamos calcular
substituindo
na expressão de
:
Passo 6
De forma similar, calculamos
substituindo
:
Passo 7
Observamos que:
Portanto:
Resposta
Concluímos que
quando
é um polinômio de terceiro grau com pontos críticos distintos
e
.