Encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento e os pontos de máximo e mínimo relativos das funções abaixo:
(d) f(x) = (1/3) x^3 - (1/2) x^2 - 6 x + 5

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar os intervalos onde a função está crescendo ou decrescendo, além dos pontos de máximo e mínimo relativos da função . Para resolver isso, vamos usar o que a gente sabe sobre derivadas, que nos ajudam a entender como a função se comporta em diferentes partes do gráfico. Precisamos calcular a derivada da função, encontrar onde ela é zero (esses são os pontos críticos), e analisar o sinal da derivada para determinar se a função está subindo ou descendo nesses intervalos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de . A derivada nos diz a inclinação da função em cada ponto, ou seja, se está crescendo ou decrescendo.
Vamos derivar termo a termo:
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de onde a derivada é igual a zero. Esses pontos podem ser onde a função muda de crescente para decrescente ou vice-versa.
Vamos resolver essa equação quadrática. Usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , , e .
Então, temos duas soluções:
Os pontos críticos são e .

Passo 4

Vamos analisar o sinal da derivada nos intervalos determinados pelos pontos críticos para saber onde a função está crescendo ou decrescendo.
Os intervalos são:
Escolhemos um valor de teste em cada intervalo e verificamos o sinal da derivada.
  1. Intervalo : Vamos escolher .
Como , a função está crescente nesse intervalo.
  1. Intervalo : Vamos escolher .
Como , a função está decrescente nesse intervalo.
  1. Intervalo : Vamos escolher .
Como , a função está crescente nesse intervalo.

Passo 5

Agora, vamos identificar os pontos de máximo e mínimo relativos. Para isso, olhamos para os pontos críticos e vemos se a derivada muda de sinal.
  1. Ponto :
    • Antes de (no intervalo ), (crescente).
    • Depois de (no intervalo ), (decrescente).
    A derivada muda de positiva para negativa, indicando que há um ponto de máximo relativo em .
    Vamos calcular :
    Então, o ponto de máximo relativo é .
  2. Ponto :
    • Antes de (no intervalo ), (decrescente).
    • Depois de (no intervalo ), (crescente).
    A derivada muda de negativa para positiva, indicando que há um ponto de mínimo relativo em .
    Vamos calcular :
    Então, o ponto de mínimo relativo é .

Resposta

  • Intervalos de Crescimento: e
  • Intervalo de Decrescimento:
  • Ponto de Máximo Relativo:
  • Ponto de Mínimo Relativo:

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