Encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento e os pontos de máximo e mínimo relativos das funções abaixo:
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar os intervalos onde a função está crescendo ou decrescendo, além dos pontos de máximo e mínimo relativos da função
. Para resolver isso, vamos usar o que a gente sabe sobre derivadas, que nos ajudam a entender como a função se comporta em diferentes partes do gráfico. Precisamos calcular a derivada da função, encontrar onde ela é zero (esses são os pontos críticos), e analisar o sinal da derivada para determinar se a função está subindo ou descendo nesses intervalos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada de
. A derivada nos diz a inclinação da função em cada ponto, ou seja, se está crescendo ou decrescendo.
Vamos derivar termo a termo:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de
onde a derivada é igual a zero. Esses pontos podem ser onde a função muda de crescente para decrescente ou vice-versa.
Vamos resolver essa equação quadrática. Usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
, e
.
Então, temos duas soluções:
Os pontos críticos são
e
.
Passo 4
Vamos analisar o sinal da derivada
nos intervalos determinados pelos pontos críticos para saber onde a função está crescendo ou decrescendo.
Os intervalos são:
Escolhemos um valor de teste em cada intervalo e verificamos o sinal da derivada.
- Intervalo
: Vamos escolher .
Como
, a função está crescente nesse intervalo.
- Intervalo
: Vamos escolher .
Como
, a função está decrescente nesse intervalo.
- Intervalo
: Vamos escolher .
Como
, a função está crescente nesse intervalo.
Passo 5
Agora, vamos identificar os pontos de máximo e mínimo relativos. Para isso, olhamos para os pontos críticos e vemos se a derivada muda de sinal.
-
Ponto
: - Antes de
(no intervalo ), (crescente). - Depois de
(no intervalo ), (decrescente).
A derivada muda de positiva para negativa, indicando que há um ponto de máximo relativo em. Vamos calcular: Então, o ponto de máximo relativo é. - Antes de
-
Ponto
: - Antes de
(no intervalo ), (decrescente). - Depois de
(no intervalo ), (crescente).
A derivada muda de negativa para positiva, indicando que há um ponto de mínimo relativo em. Vamos calcular: Então, o ponto de mínimo relativo é. - Antes de
Resposta
- Intervalos de Crescimento:
e - Intervalo de Decrescimento:
- Ponto de Máximo Relativo:
- Ponto de Mínimo Relativo: