Determine o coeficiente angular da curva no ponto correspondente ao valor de x indicado (usando a definição). Determine, então, a equação para a reta tangente à curva nesse ponto. f(x) = 2 * raiz(x), x = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o coeficiente angular (que é basicamente a inclinação) da curva definida por no ponto onde . Depois, precisamos encontrar a equação da reta tangente nessa curva nesse mesmo ponto. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação de uma curva em um ponto específico usando a definição de limite.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o coeficiente angular. Ele representa a inclinação da reta tangente à curva em um ponto específico. Para encontrar esse coeficiente usando a definição, usamos a fórmula da derivada pelo limite:
Aqui, é a derivada de , que nos dá a inclinação da curva no ponto .

Passo 3

Vamos aplicar essa definição para a nossa função no ponto . Primeiro, substituímos na fórmula da derivada:

Passo 4

Agora, substituímos e na expressão:
Então, a expressão fica:

Passo 5

Simplificamos a expressão fatorando o 2:
Para resolver esse limite, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do numerador para eliminar a raiz:

Passo 6

Agora, tomando o limite quando tende a 0:
Portanto:

Passo 7

Agora que temos o coeficiente angular , podemos encontrar a equação da reta tangente. A fórmula geral da reta é:
Sabemos que a reta passa pelo ponto . Substituindo e na equação:

Resposta

O coeficiente angular da curva no ponto é 1. A equação da reta tangente à curva nesse ponto é:

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