Determine o coeficiente angular da curva no ponto correspondente ao valor de x indicado (usando a definição). Determine, então, a equação para a reta tangente à curva nesse ponto.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o coeficiente angular (que é basicamente a inclinação) da curva definida por
no ponto onde
. Depois, precisamos encontrar a equação da reta tangente nessa curva nesse mesmo ponto. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação de uma curva em um ponto específico usando a definição de limite.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o coeficiente angular. Ele representa a inclinação da reta tangente à curva em um ponto específico. Para encontrar esse coeficiente usando a definição, usamos a fórmula da derivada pelo limite:
Aqui,
é a derivada de
, que nos dá a inclinação da curva no ponto
.
Passo 3
Vamos aplicar essa definição para a nossa função
no ponto
. Primeiro, substituímos na fórmula da derivada:
Passo 4
Agora, substituímos
e
na expressão:
Então, a expressão fica:
Passo 5
Simplificamos a expressão fatorando o 2:
Para resolver esse limite, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do numerador para eliminar a raiz:
Passo 6
Agora, tomando o limite quando
tende a 0:
Portanto:
Passo 7
Agora que temos o coeficiente angular
, podemos encontrar a equação da reta tangente. A fórmula geral da reta é:
Sabemos que a reta passa pelo ponto
. Substituindo
e
na equação:
Resposta
O coeficiente angular da curva no ponto
é 1. A equação da reta tangente à curva nesse ponto é:
Exercícios relacionados
Suponha que f e g sejam funções contínuas, tais que
e
. Encontre:
Determine o coeficiente angular da curva no ponto correspondente ao valor de x indicado (usando a definição). Determine, então, a equação para a reta tangente à curva nesse ponto.
Para cada afirmação dada a seguir, determine se ela é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.
)
.
Para cada afirmação dada a seguir, determine se ela é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta. Se a equação da reta tangente à curva
no ponto
é
então