Suponha que f e g sejam funções contínuas, tais que lim x 2[f(x)+4 g(x)]=13 e f(2)=1. Encontre: lim x 2 g(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas funções contínuas, f e g. Sabemos que quando x se aproxima de 2, a soma de f(x) mais 4 vezes g(x) dá 13, ou seja, lim x 2[f(x)+4 g(x)]=13. Também sabemos que f(2) é igual a 1. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o limite de g(x) quando x se aproxima de 2, ou seja, lim x 2 g(x). Vamos usar conceitos de limites e propriedades de funções contínuas para chegar lá.

Passo 2

Primeiro, como f é contínua em x = 2, isso significa que o limite de f(x) quando x se aproxima de 2 é igual a f(2). Então, podemos dizer que:
lim x 2 f(x) = f(2) = 1

Passo 3

Agora, vamos usar a propriedade dos limites que diz que o limite da soma é igual à soma dos limites, e que podemos multiplicar constantes pelas funções dentro do limite. Ou seja:
lim x 2 [f(x) + 4g(x)] = lim x 2 f(x) + 4 lim x 2 g(x)
De acordo com o enunciado, esse limite é igual a 13.

Passo 4

Substituindo o que já sabemos:
13 = 1 + 4 lim x 2 g(x)
Agora, queremos isolar o limite de g(x).

Passo 5

Subtraindo 1 de ambos os lados da equação:
13 - 1 = 4 lim x 2 g(x)
12 = 4 lim x 2 g(x)

Passo 6

Agora, dividindo ambos os lados por 4 para encontrar o limite de g(x):
lim x 2 g(x) = 124 = 3

Resposta

O limite de g(x) quando x se aproxima de 2 é 3.

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