Determine o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função y = f(x) definida implicitamente na equação 2x^2 + y^3 + y - 6 = 3xy no ponto 1,2.

Passo 1

Vamos entender o que a gente precisa fazer! O exercício pede para encontrar o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de uma função que está definida de forma implícita pela equação , no ponto . Isso envolve Derivada Implícita, que é uma técnica para encontrar a derivada quando a função não está resolvida para y.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a x. Lembre-se que y é uma função de x, então quando derivamos termos com y, precisamos usar a regra da cadeia.
Derivada do lado esquerdo:
Derivada do lado direito:
(usando a regra do produto)

Passo 3

Agora, juntando tudo:

Passo 4

Vamos isolar :
Fatorando :

Passo 5

Finalmente, resolvendo para :

Passo 6

Agora, vamos substituir os valores de x = 1 e y = 2:

Resposta

O coeficiente angular da reta tangente no ponto é 1/5.

Exercícios relacionados

A função produção de certa mercadoria tem valores f(x, y) = y + x^2, onde x e y representam, respectivamente, o número de máquinas que foram usadas na produção e o número de homens-hora disponíveis. Encontre e trace no plano x 0 y as isoquantas correspondentes aos níveis de produção constante 4,2 e 1.
Nas questões de 5 a 8 determine o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função definida implicitamente pela equação dada para o valor indicado.
x^2 * y^3 - 2 * x * y = 6 * x + y + 1 ; x = 0
Considere a área limitada pelo eixo dos x, pela parábola y = x^2 e pela reta x = b, b > 0. O valor de b para que essa área seja igual a 72 é:
(A) 3
(B) 4
© 5
(D) 6
(E) 7
Nas questões de 5 a 8 determine o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função definida implicitamente pela equação dada para o valor indicado.
x^2 = y^3 ; x = 8