Nas questões de 5 a 8 determine o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função definida implicitamente pela equação dada para o valor indicado.
x^2 * y^3 - 2 * x * y = 6 * x + y + 1 ; x = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente encontrar o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função definida implicitamente pela equação no ponto onde . Isso significa que a gente vai precisar usar derivada implícita para achar a inclinação da reta tangente naquele ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o valor de quando . Substituindo na equação:
Então, o ponto de interesse é .

Passo 3

Agora, vamos derivar a equação de forma implícita em relação a . Lembre-se que é uma função de , então teremos que usar a regra do produto e a regra da cadeia quando derivarmos termos que envolvem .
Derivando cada termo:
Então, colocando tudo na equação derivada:

Passo 4

Vamos agrupar os termos que contêm de um lado e os demais do outro:
Fatorando :

Passo 5

Agora, isolamos :
Vamos substituir e na expressão:

Resposta

O coeficiente angular da reta tangente é .

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Nas questões de 1 a 4 encontre dy/ dx através de derivação implícita:
4xy^2 + 3x^2y = 2
Determine o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função y = f(x) definida implicitamente na equação x^2 * y^3 - 5 * y^3 = x + 6 no ponto (2, -2).
A função produção de certa mercadoria tem valores f(x, y) = y + x^2, onde x e y representam, respectivamente, o número de máquinas que foram usadas na produção e o número de homens-hora disponíveis. Encontre e trace no plano x 0 y as isoquantas correspondentes aos níveis de produção constante 4,2 e 1.
Determine o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função y = f(x) definida implicitamente na equação 2x^2 + y^3 + y - 6 = 3xy no ponto 1,2.