A função produção de certa mercadoria tem valores f(x, y) = y + x^2, onde x e y representam, respectivamente, o número de máquinas que foram usadas na produção e o número de homens-hora disponíveis. Encontre e trace no plano x 0 y as isoquantas correspondentes aos níveis de produção constante 4,2 e 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma função de produção , onde é o número de máquinas usadas e é o número de homens-hora disponíveis. A gente precisa encontrar as isoquantas para níveis de produção constantes iguais a 4, 2 e 1. Isso faz parte da matéria de funções de produção e análise de isoquantas, que ajuda a entender como diferentes combinações de insumos (máquinas e mão-de-obra) podem gerar a mesma quantidade de produção. Para resolver, vamos precisar manipular a equação da função de produção para encontrar em função de para cada nível de produção.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma isoquanta. Uma isoquanta é uma curva que representa todas as combinações de insumos que produzem a mesma quantidade de produto. No nosso caso, cada isoquanta vai corresponder a um nível de produção constante (4, 2 e 1).

Passo 3

Vamos começar encontrando a isoquanta para o nível de produção igual a 4. Substituímos por 4 na equação:
Agora, queremos isolar para deixar a equação em termos de :
Essa é a equação da isoquanta para produção igual a 4.

Passo 4

Fazendo o mesmo para o nível de produção igual a 2:
Isolando :
Essa é a isoquanta para produção igual a 2.

Passo 5

E para o nível de produção igual a 1:
Isolando :
Essa é a isoquanta para produção igual a 1.

Passo 6

Agora que temos as equações das três isoquantas, vamos entender como elas se comportam no plano - . Cada uma delas é uma parábola que abre para baixo, já que o coeficiente de é negativo. À medida que o nível de produção diminui, a parábola se desloca para baixo no eixo .

Passo 7

Para traçar as isoquantas no plano - , você pode seguir esses passos:
  1. Desenhe os eixos e .
  2. Para cada isoquanta, plote alguns pontos substituindo valores de na equação , onde é 4, 2 ou 1.
  3. Desenhe as parábolas correspondentes, lembrando que elas se abrem para baixo.
  4. Verifique que todas as curvas nunca passam por valores negativos de , já que representa homens-hora disponíveis.

Resposta

As isoquantas correspondentes aos níveis de produção constante 4, 2 e 1 são dadas pelas equações:
No plano - , cada uma dessas equações representa uma parábola que abre para baixo, indicando todas as combinações de máquinas e homens-hora que resultam nos respectivos níveis de produção.

Exercícios relacionados

Nas questões de 5 a 8 determine o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função definida implicitamente pela equação dada para o valor indicado.
x^2 * y^3 - 2 * x * y = 6 * x + y + 1 ; x = 0
Nas questões de 1 a 4 encontre dy/ dx através de derivação implícita:
4xy^2 + 3x^2y = 2
Determine o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função y = f(x) definida implicitamente na equação 2x^2 + y^3 + y - 6 = 3xy no ponto 1,2.
Considere a área limitada pelo eixo dos x, pela parábola y = x^2 e pela reta x = b, b > 0. O valor de b para que essa área seja igual a 72 é:
(A) 3
(B) 4
© 5
(D) 6
(E) 7