Determine o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função , no ponto (a, ) e dê a equação da reta tangente à no ponto .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função no ponto . Além disso, precisamos dar a equação da reta tangente nesse ponto específico quando . Vamos usar conceitos de derivadas para achar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o coeficiente angular de uma reta tangente. O coeficiente angular representa a inclinação da reta, ou seja, quão inclinada ela está em relação ao eixo x. Para encontrar essa inclinação em um ponto específico da função, usamos a derivada da função nesse ponto.

Passo 3

A derivada de uma função nos dá a taxa de variação da função em qualquer ponto. No caso de funções lineares como , a derivada é constante porque a inclinação da reta é sempre a mesma em qualquer ponto.

Passo 4

Vamos calcular a derivada de . A derivada de é 2 e a derivada de uma constante como -1 é 0. Então, .

Passo 5

Isso significa que o coeficiente angular da reta tangente em qualquer ponto é 2. Agora, vamos encontrar a equação da reta tangente no ponto específico .

Passo 6

Primeiro, calculamos :
Então, o ponto é .

Passo 7

Sabemos que a equação de uma reta pode ser escrita como , onde é o coeficiente angular e é o intercepto. Já sabemos que e queremos que a reta passe pelo ponto .

Passo 8

Substituindo os valores na equação:

Resposta

O coeficiente angular da reta tangente é 2 e a equação da reta tangente no ponto é .

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