Uma placa fina de metal, localizada no plano x y, tem temperatura T(x, y) no ponto (x, y). As curvas de nível de T são chamadas isotérmicas porque todos os pontos em uma dessas curvas têm a mesma temperatura. Faça o esboço de algumas isotérmicas se a função temperatura for dada por T(x, y) = 100 / (1 + |x| + |y|)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar as curvas de nível (ou isotérmicas) da função temperatura em uma placa de metal no plano . Isso significa que vamos encontrar as curvas onde a temperatura é constante. Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular a equação da temperatura e identificar diferentes valores constantes para .

Passo 2

Primeiro, vamos definir uma constante que representa uma temperatura específica. Então, temos:
Nosso objetivo é encontrar a relação entre e para cada valor de .

Passo 3

Vamos resolver a equação para :
Isso nos dá:
Vamos chamar . Então:

Passo 4

A equação representa uma forma geométrica conhecida: um losango (ou diamante) centrado na origem. O valor de determina o tamanho do losango. Então, para diferentes valores de , teremos diferentes losangos.

Passo 5

Vamos escolher alguns valores para para esboçar as isotérmicas:
  1. Esse é um losango medindo 1 unidade a partir da origem.
  2. Aqui, o losango é maior, medindo 3 unidades.
  3. Mais uma vez, aumentamos o tamanho do losango.

Passo 6

Com esses valores de , podemos desenhar os losangos correspondentes no plano . Cada losango representa uma curva de temperatura constante, e conforme diminui, o losango se expande, indicando que a temperatura está diminuindo à medida que nos afastamos do centro.

Resposta

As isotérmicas da função são curvas em formato de losangos centrados na origem, com equações , onde para diferentes valores de . Por exemplo:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Esses losangos representam as curvas de temperatura constante na placa de metal.

Exercícios relacionados