Determine o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função
definida implicitamente na equação
no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver juntos esse problema! A gente precisa achar o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função
, que está definida de forma implícita pela equação
no ponto
. Para isso, vamos usar o diferencial implícito, que é uma técnica da Cálculo Diferencial para encontrar a derivada quando
está misturado com
na equação.
Passo 2
Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
. Lembre-se que quando derivamos uma função que tem
dependente de
, precisamos usar a Regra da Cadeia. Então, cada vez que derivarmos um termo que tenha
, vamos multiplicar pela derivada de
em relação a
, que é
.
A equação original é:
Vamos derivar cada termo:
-
Derivada de
: - Use a Regra do Produto:
-
então -
então - Assim, a derivada é:
- Use a Regra do Produto:
-
Derivada de
: - Derivada de
é - Então,
- Derivada de
-
Derivada de
: - É simplesmente
- É simplesmente
-
Derivada de
: - É
porque a derivada de uma constante é zero.
- É
Agora, juntando tudo:
Passo 3
Agora, vamos isolar
. Primeiramente, vamos agrupar os termos que têm
e os que não têm.
Fatorando
do lado esquerdo:
Agora, isolando
:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão. Primeiro, observe que no denominador podemos fatorar
:
Simplificando mais:
Passo 5
Agora, vamos substituir os valores do ponto
na expressão para
.
Substituindo
e
:
Numerador:
Denominador:
Então:
Resposta
O coeficiente angular da reta tangente é
.
Exercícios relacionados
Nas questões de 9 a 12 escreva a equação da reta tangente ao gráfico da função definida implicitamente pela equação dada no ponto indicado.
Representar, no plano
, as curvas de nível das funções abaixo correspondentes aos valores do nível
dados:
a)
a)
Nas questões de 1 a 4 encontre dy/ dx através de derivação implícita:
Nas questões de 5 a 8 determine o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função definida implicitamente pela equação dada para o valor indicado.