Determine o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função y = f(x) definida implicitamente na equação x^2 * y^3 - 5 * y^3 = x + 6 no ponto (2, -2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos esse problema! A gente precisa achar o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função , que está definida de forma implícita pela equação no ponto . Para isso, vamos usar o diferencial implícito, que é uma técnica da Cálculo Diferencial para encontrar a derivada quando está misturado com na equação.

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se que quando derivamos uma função que tem dependente de , precisamos usar a Regra da Cadeia. Então, cada vez que derivarmos um termo que tenha , vamos multiplicar pela derivada de em relação a , que é .
A equação original é:
Vamos derivar cada termo:
  1. Derivada de :
    • Use a Regra do Produto:
    • então
    • então
    • Assim, a derivada é:
  2. Derivada de :
    • Derivada de é
    • Então,
  3. Derivada de :
    • É simplesmente
  4. Derivada de :
    • É porque a derivada de uma constante é zero.
Agora, juntando tudo:

Passo 3

Agora, vamos isolar . Primeiramente, vamos agrupar os termos que têm e os que não têm.
Fatorando do lado esquerdo:
Agora, isolando :

Passo 4

Vamos simplificar a expressão. Primeiro, observe que no denominador podemos fatorar :
Simplificando mais:

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores do ponto na expressão para .
Substituindo e :
Numerador:
Denominador:
Então:

Resposta

O coeficiente angular da reta tangente é .

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4xy^2 + 3x^2y = 2
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