Determine o coeficiente angular da tangente à curva y = x^2 + x - 2 nos interceptos. Escreva a equação da reta correspondente.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar o coeficiente angular da tangente à curva nos interceptos, e depois escrever a equação da reta correspondente. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar o coeficiente angular da tangente em qualquer ponto da curva.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os interceptos da curva. Os interceptos são os pontos onde a curva corta os eixos coordenados. Como queremos encontrar os interceptos onde a reta tangente será calculada, vamos encontrar os pontos onde a curva intercepta o eixo (interceptos ), já que no eixo há apenas um ponto de interseção.
Para encontrar os interceptos , igualamos a zero:
Resolvendo essa equação quadrática.

Passo 3

Vamos resolver a equação usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e . Substituindo os valores:
Portanto, as soluções são:
Os interceptos são nos pontos e .

Passo 4

Agora, vamos encontrar o coeficiente angular da tangente à curva nesses pontos. O coeficiente angular da tangente é dado pela derivada da função em relação a .
Primeiro, calculamos a derivada de :
Essa derivada nos dá a inclinação da tangente em qualquer ponto da curva.

Passo 5

Vamos avaliar a derivada nos pontos de intercepto para encontrar o coeficiente angular da tangente em cada um deles.
Para :
Então, a inclinação da tangente em é 3.
Para :
Então, a inclinação da tangente em é -3.

Passo 6

Agora, vamos escrever a equação das retas tangentes usando a fórmula da equação da reta:
Onde é o coeficiente angular e é o ponto de tangência.
Para o ponto com :
Para o ponto com :

Resposta

As equações das retas tangentes à curva nos interceptos são:

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