Determine o coeficiente angular da tangente à curva
nos interceptos. Escreva a equação da reta correspondente.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar o coeficiente angular da tangente à curva
nos interceptos, e depois escrever a equação da reta correspondente. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar o coeficiente angular da tangente em qualquer ponto da curva.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os interceptos da curva. Os interceptos são os pontos onde a curva corta os eixos coordenados. Como queremos encontrar os interceptos onde a reta tangente será calculada, vamos encontrar os pontos onde a curva intercepta o eixo
(interceptos
), já que no eixo
há apenas um ponto de interseção.
Para encontrar os interceptos
, igualamos
a zero:
Resolvendo essa equação quadrática.
Passo 3
Vamos resolver a equação
usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
. Substituindo os valores:
Portanto, as soluções são:
Os interceptos são nos pontos
e
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar o coeficiente angular da tangente à curva nesses pontos. O coeficiente angular da tangente é dado pela derivada da função
em relação a
.
Primeiro, calculamos a derivada de
:
Essa derivada nos dá a inclinação da tangente em qualquer ponto
da curva.
Passo 5
Vamos avaliar a derivada nos pontos de intercepto para encontrar o coeficiente angular da tangente em cada um deles.
Para
:
Então, a inclinação da tangente em
é 3.
Para
:
Então, a inclinação da tangente em
é -3.
Passo 6
Agora, vamos escrever a equação das retas tangentes usando a fórmula da equação da reta:
Onde
é o coeficiente angular e
é o ponto de tangência.
Para o ponto
com
:
Para o ponto
com
:
Resposta
As equações das retas tangentes à curva
nos interceptos são:
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