Determine o coeficiente angular da tangente à curva nos interceptos. Escreva a equação da reta correspondente.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar o coeficiente angular da tangente à curva nos interceptos, e depois escrever a equação da reta correspondente. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar o coeficiente angular da tangente em qualquer ponto da curva.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os interceptos da curva. Os interceptos são os pontos onde a curva corta os eixos coordenados. Como queremos encontrar os interceptos onde a reta tangente será calculada, vamos encontrar os pontos onde a curva intercepta o eixo (interceptos ), já que no eixo há apenas um ponto de interseção.
Para encontrar os interceptos , igualamos a zero:
Resolvendo essa equação quadrática.

Passo 3

Vamos resolver a equação usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e . Substituindo os valores:
Portanto, as soluções são:
Os interceptos são nos pontos e .

Passo 4

Agora, vamos encontrar o coeficiente angular da tangente à curva nesses pontos. O coeficiente angular da tangente é dado pela derivada da função em relação a .
Primeiro, calculamos a derivada de :
Essa derivada nos dá a inclinação da tangente em qualquer ponto da curva.

Passo 5

Vamos avaliar a derivada nos pontos de intercepto para encontrar o coeficiente angular da tangente em cada um deles.
Para :
Então, a inclinação da tangente em é 3.
Para :
Então, a inclinação da tangente em é -3.

Passo 6

Agora, vamos escrever a equação das retas tangentes usando a fórmula da equação da reta:
Onde é o coeficiente angular e é o ponto de tangência.
Para o ponto com :
Para o ponto com :

Resposta

As equações das retas tangentes à curva nos interceptos são:

Exercícios relacionados

Use integração por partes para resolver as integrais:
O valor de um celular um ano após a compra é de 700 reais, devido à constante atualizações da tecnologia, seu preço é cada vez mais depreciado com o tempo, de acordo com a taxa , onde é o seu valor anos após a compra. Qual o valor do aparelho 4 anos após a compra?
Ache o ponto sobre curva onde a inclinação da tangente é .
Resolva as integrais das funções racionais: