Use integração por partes para resolver as integrais: integral arctan (3 x) d x

Passo 1

Resumo da pergunta: A gente precisa resolver a integral de em relação a usando a técnica de integração por partes. Para isso, vamos precisar entender como funciona essa técnica e aplicar passo a passo.

Passo 2

Lembrando a fórmula de integração por partes: A fórmula é como uma “regra de ouro” para integrar produtos de funções e é dada por:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, vamos escolher qual parte da nossa função será e qual será .

Passo 3

Escolhendo u = arctan(3x) e dv = dx e :
Vamos definir:
Agora, precisamos encontrar (a derivada de ) e (a integral de ).

Passo 4

Calculando du = ddx arctan(3x) , dx = 31 + (3x)^2 , dx = 31 + 9x^2 , dx e v = integral dx = x :
Primeiro, vamos derivar :
Agora, vamos integrar para encontrar :

Passo 5

Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo integral arctan(3x) , dx = uv - integral v , du , integral arctan(3x) , dx = arctan(3x) cdot x - integral x cdot 31 + 9x^2 , dx , e na fórmula:
Ou seja:

Passo 6

Resolvendo a nova integral t = 1 + 9x^2 :
Vamos simplificar essa integral usando uma substituição. Seja:
dt = 18x , dx Rightarrow x , dx = dt18
Então:

Passo 7

Substituindo na integral:
integral 3x1 + 9x^2 , dx = integral 3t cdot dt18 = 16 integral 1t , dt = 16 ln|t| + C
Voltando para = 16 ln(1 + 9x^2) + C :

Passo 8

Voltando à expressão original:
Substituindo o resultado da integral que acabamos de encontrar:
integral arctan(3x) , dx = x cdot arctan(3x) - 16 ln(1 + 9x^2) + C

Resposta

A integral de integral arctan(3x) , dx = x cdot arctan(3x) - 16 ln(1 + 9x^2) + C em relação a é:

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