Determine os coeficientes a, b, c e d da função polinomial p(x)=a x^3+b x^2+c x+d, cujo gráfico passa pelos pontos P1=(-1,3), P2=(0,2), P3=(1,-1) e P4=(2,0).
Resposta: p(x)=x^3-x^2-3 x+2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os coeficientes e da função polinomial . O gráfico dessa função passa pelos pontos , , e . Para resolver isso, vamos usar o conceito de sistemas de equações, onde cada ponto dado vai gerar uma equação que nos ajudará a encontrar os valores de e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender que se o gráfico da função passa por um ponto p(x) = y , então substituindo esse na função deve dar o valor . Ou seja, para cada ponto , temos a equação:
Vamos aplicar isso para cada um dos quatro pontos dados.

Passo 3

Vamos começar com o ponto p(-1) = a(-1)^3 + b(-1)^2 + c(-1) + d = 3 :
- a + b - c + d = 3 (Equação 1)
Simplificando:
p(0) = a(0)^3 + b(0)^2 + c(0) + d = 2 çã
Agora, para o ponto d = 2 (Equação 2) :
p(1) = a(1)^3 + b(1)^2 + c(1) + d = -1
Simplificando:
a + b + c + d = -1 (Equação 3) çã
Para o ponto p(2) = a(2)^3 + b(2)^2 + c(2) + d = 0 :
8a + 4b + 2c + d = 0 (Equação 4)
Simplificando:
çã
E finalmente, para o ponto :
Simplificando:
çã

Passo 4

Agora que temos nosso sistema de equações:
  1. - a + b - c + 2 = 3 implies -a + b - c = 1 (Nova Equação 1)      (Equação 1)
  2. a + b + c + 2 = -1 implies a + b + c = -3 (Nova Equação 3)              (Equação 2)
  3. 8a + 4b + 2c + 2 = 0 implies 8a + 4b + 2c = -2 (Nova Equação 4)      (Equação 3)
  4.      (Equação 4)
Vamos usar a Equação 2 para substituir nas outras equações.
Substituindo na Equação 1:
çã
Substituindo na Equação 3:
çã
Substituindo na Equação 4:
çã

Passo 5

Agora nosso sistema está assim:
  1. (-a + a) + (b + b) + (-c + c) = 1 + (-3) implies 2b = -2 implies b = -1      (Nova Equação 1)
  2.      (Nova Equação 3)
  3. ���    (Nova Equação 4)
Vamos resolver esse sistema. Uma boa estratégia é somar a Equação 1 e a Equação 3 para eliminar e :

Passo 6

Com - a + (-1) - c = 1 implies -a - c = 2 (Equação 5) , vamos substituir esse valor nas Equações 1 e 3 para encontrar a + (-1) + c = -3 implies a + c = -2 (Equação 6) e (-a + a) + (-c + c) = 2 + (-2) implies 0 = 0 .
Substituindo a = -2 - c na Nova Equação 1:
8(-2 - c) + 4(-1) + 2c = -2 çã
Substituindo -16 - 8c - 4 + 2c = -2 implies -20 - 6c = -2 implies -6c = 18 implies c = -3 na Nova Equação 3:
a + (-3) = -2 implies a = 1 çã
Agora, temos:
  1.      (Equação 5)
  2.      (Equação 6)
Somando a Equação 5 e a Equação 6:
Isso indica que as equações são dependentes, então precisamos de outra abordagem. Vamos resolver a Equação 6 para :
Agora, substituímos na Nova Equação 4:
Simplificando:
Agora, encontramos . Usando isso na Equação 6:

Passo 7

Recapitulando, temos:
a = 1, b = -1, c = -3, d = 2

Resposta

A função polinomial é:
p(x) = x^3 - x^2 - 3x + 2

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