Expresse os seguintes polinômios como combinação linear de
e
:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa expressar o polinômio
como uma combinação linear dos polinômios
,
e
. Esse tipo de problema está relacionado ao estudo de combinações lineares e espaços vetoriais na Álgebra Linear. Para resolver, vamos precisar encontrar coeficientes
,
e
tais que:
Passo 2
Primeiro, vamos substituir os polinômios
,
e
na equação:
Agora, vamos distribuir os coeficientes
,
e
dentro dos parênteses:
Passo 3
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes, ou seja, os termos com
,
e os termos constantes:
Isso simplifica para:
Passo 4
Agora, vamos igualar os coeficientes dos mesmos termos dos dois lados da equação. Note que no lado direito temos apenas termos constantes e de
, então os coeficientes de
no lado esquerdo devem ser zero. Assim, temos o seguinte sistema de equações:
- Para os termos constantes:
- Para os termos com
:
- Para os termos com
:
Passo 5
Vamos resolver esse sistema de equações passo a passo. Primeiro, da segunda equação, podemos isolar uma das variáveis. Por exemplo, vamos isolar
:
Agora, substituímos essa expressão de
na primeira e terceira equações.
Substituindo na primeira equação:
Substituindo na terceira equação:
Passo 6
Agora, temos um sistema com duas equações e duas incógnitas:
Vamos resolver pela substituição ou eliminação. Vou usar a eliminação. Multiplicamos a Equação 4 por 3 para alinhar os coeficientes de
:
Agora, subtraímos a Equação 5 da Equação 6:
Agora, substituímos
na Equação 4:
Passo 7
Agora que temos
e
, vamos encontrar
usando a expressão que encontramos anteriormente:
Resposta
Portanto, os coeficientes que expressam
como combinação linear dos polinômios dados são:
Ou seja,