Expresse os seguintes polinômios como combinação linear de p1(x)=2+x+4 x^2, p2(x)=1-x+3 x^2 e p3(x)=3+2 x+5 x^2: 2+5 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa expressar o polinômio a cdot p1(x) + b cdot p2(x) + c cdot p3(x) = 2 + 5x como uma combinação linear dos polinômios , e . Esse tipo de problema está relacionado ao estudo de combinações lineares e espaços vetoriais na Álgebra Linear. Para resolver, vamos precisar encontrar coeficientes , e tais que:

Passo 2

Primeiro, vamos substituir os polinômios a cdot (2 + x + 4x^2) + b cdot (1 - x + 3x^2) + c cdot (3 + 2x + 5x^2) = 2 + 5x , (2a + a x + 4a x^2) + (b - b x + 3b x^2) + (3c + 2c x + 5c x^2) = 2 + 5x e na equação:
Agora, vamos distribuir os coeficientes , e dentro dos parênteses:

Passo 3

Agora, vamos agrupar os termos semelhantes, ou seja, os termos com (2a + b + 3c) + (a x - b x + 2c x) + (4a x^2 + 3b x^2 + 5c x^2) = 2 + 5x , (2a + b + 3c) + (a - b + 2c) x + (4a + 3b + 5c) x^2 = 2 + 5x e os termos constantes:
Isso simplifica para:

Passo 4

Agora, vamos igualar os coeficientes dos mesmos termos dos dois lados da equação. Note que no lado direito temos apenas termos constantes e de 2a + b + 3c = 2 , então os coeficientes de a - b + 2c = 5 no lado esquerdo devem ser zero. Assim, temos o seguinte sistema de equações:
  1. Para os termos constantes:
4a + 3b + 5c = 0
  1. Para os termos com :
  1. Para os termos com :

Passo 5

Vamos resolver esse sistema de equações passo a passo. Primeiro, da segunda equação, podemos isolar uma das variáveis. Por exemplo, vamos isolar a = 5 + b - 2c :
2(5 + b - 2c) + b + 3c = 2 10 + 2b - 4c + b + 3c = 2 3b - c = -8 (Equação 4)
Agora, substituímos essa expressão de 4(5 + b - 2c) + 3b + 5c = 0 20 + 4b - 8c + 3b + 5c = 0 7b - 3c = -20 (Equação 5) na primeira e terceira equações.
Substituindo na primeira equação:
çã
Substituindo na terceira equação:
çã

Passo 6

Agora, temos um sistema com duas equações e duas incógnitas:
3b - c = -8 (Equação 4) 7b - 3c = -20 (Equação 5) çãçã
Vamos resolver pela substituição ou eliminação. Vou usar a eliminação. Multiplicamos a Equação 4 por 3 para alinhar os coeficientes de 9b - 3c = -24 (Equação 6) :
(9b - 3c) - (7b - 3c) = -24 - (-20) 2b = -4 b = -2 çã
Agora, subtraímos a Equação 5 da Equação 6:
3(-2) - c = -8 -6 - c = -8 -c = -2 c = 2
Agora, substituímos na Equação 4:

Passo 7

Agora que temos a = 5 + b - 2c a = 5 + (-2) - 2(2) a = 5 - 2 - 4 a = -1 e , vamos encontrar usando a expressão que encontramos anteriormente:

Resposta

Portanto, os coeficientes que expressam a = -1, b = -2, c = 2 como combinação linear dos polinômios dados são:
2 + 5x = -1 cdot p1(x) - 2 cdot p2(x) + 2 cdot p3(x)
Ou seja,

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