Determine se o conjunto
é um subespaço de
. Em caso afirmativo exiba uma base.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para a gente verificar se um certo conjunto de matrizes, onde a primeira entrada é sempre zero, forma um subespaço do conjunto de todas as matrizes 2x2 com números reais. Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de subespaço vetorial e verificar alguns critérios básicos. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar o que é um subespaço. Um subespaço de um espaço vetorial precisa satisfazer três condições:
- Contém o vetor zero: Neste caso, a matriz zero.
- Fechado sob adição: Se você pegar duas matrizes no conjunto, a soma delas também deve estar no conjunto.
- Fechado sob multiplicação por escalar: Se você multiplicar uma matriz do conjunto por qualquer número real, o resultado ainda deve estar no conjunto.
Passo 3
Vamos verificar a primeira condição: Contém o vetor zero. A matriz zero em
é:
Note que nessa matriz,
, então ela pertence ao conjunto
. Pronto, a primeira condição está satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos para a segunda condição: Fechado sob adição. Vamos pegar duas matrizes quaisquer em
:
Somando elas:
Vemos que a primeira entrada continua sendo zero, então a matriz resultante também está em
. Assim, a segunda condição está ok.
Passo 5
Por último, vamos verificar a terceira condição: Fechado sob multiplicação por escalar. Pegamos uma matriz qualquer em
e multiplicamos por um número real
:
A primeira entrada ainda é zero, então a matriz multiplicada por
também pertence a
. Portanto, a terceira condição também está satisfeita.
Passo 6
Como todas as três condições para ser um subespaço foram cumpridas, podemos concluir que
é realmente um subespaço de
. Agora, vamos encontrar uma base para esse subespaço.
Passo 7
Para encontrar uma base, precisamos identificar matrizes que gerem todo o conjunto
de forma linearmente independente. Observando a forma das matrizes em
:
Podemos expressar qualquer matriz em
como uma combinação linear das seguintes matrizes:
Assim, qualquer matriz em
pode ser escrita como
.
Resposta
Sim,
é um subespaço de
. Uma base para
é composta pelas matrizes: