Determine se o conjunto V=[lla & b c & d] com a, b, c, d in R e a=0 é um subespaço de M(2,2). Em caso afirmativo exiba uma base.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para a gente verificar se um certo conjunto de matrizes, onde a primeira entrada é sempre zero, forma um subespaço do conjunto de todas as matrizes 2x2 com números reais. Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de subespaço vetorial e verificar alguns critérios básicos. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar o que é um subespaço. Um subespaço de um espaço vetorial precisa satisfazer três condições:
  1. Contém o vetor zero: Neste caso, a matriz zero.
  2. Fechado sob adição: Se você pegar duas matrizes no conjunto, a soma delas também deve estar no conjunto.
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se você multiplicar uma matriz do conjunto por qualquer número real, o resultado ainda deve estar no conjunto.

Passo 3

Vamos verificar a primeira condição: Contém o vetor zero. A matriz zero em M(2,2) é:
0 = 0 & 0 0 & 0
Note que nessa matriz, a = 0, então ela pertence ao conjunto V. Pronto, a primeira condição está satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos para a segunda condição: Fechado sob adição. Vamos pegar duas matrizes quaisquer em V:
V1 = 0 & b1 c1 & d1 , V2 = 0 & b2 c2 & d2
Somando elas:
V1 + V2 = 0+0 & b1+b2 c1+c2 & d1+d2 = 0 & b1+b2 c1+c2 & d1+d2
Vemos que a primeira entrada continua sendo zero, então a matriz resultante também está em V. Assim, a segunda condição está ok.

Passo 5

Por último, vamos verificar a terceira condição: Fechado sob multiplicação por escalar. Pegamos uma matriz qualquer em V e multiplicamos por um número real k:
k cdot V = k cdot 0 & b c & d = 0 & k b k c & k d
A primeira entrada ainda é zero, então a matriz multiplicada por k também pertence a V. Portanto, a terceira condição também está satisfeita.

Passo 6

Como todas as três condições para ser um subespaço foram cumpridas, podemos concluir que V é realmente um subespaço de M(2,2). Agora, vamos encontrar uma base para esse subespaço.

Passo 7

Para encontrar uma base, precisamos identificar matrizes que gerem todo o conjunto V de forma linearmente independente. Observando a forma das matrizes em V:
V = 0 & b c & d
Podemos expressar qualquer matriz em V como uma combinação linear das seguintes matrizes:
E1 = 0 & 1 0 & 0 , E2 = 0 & 0 1 & 0 , E3 = 0 & 0 0 & 1
Assim, qualquer matriz em V pode ser escrita como bE1 + cE2 + dE3.

Resposta

Sim, V é um subespaço de M(2,2). Uma base para V é composta pelas matrizes:
0 & 1 0 & 0 , 0 & 0 1 & 0 , 0 & 0 0 & 1

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