Para o sistema
S=l 2 x-y-w=3 y+z+2 w=2 x-2 y-z=-1
qual dos seguintes vetores é uma solução particular da solução geral deste sistema?
a) (0,-3,5,0)
b) (2,1,1,0)
c) (-1,-4,8,-1)

Passo 1

Oi! Vamos resolver esse exercício juntos. O enunciado apresenta um sistema de equações lineares com quatro incógnitas: . O objetivo é identificar qual dos vetores dados é uma solução particular desse sistema.
Para resolver isso, vamos substituir os valores de cada vetor nas equações e verificar se todas as equações são satisfeitas. Precisaremos usar conhecimentos básicos de álgebra linear e substituição de valores em equações.

Passo 2

Primeiro, vamos testar a opção a): 2x - y - w = 2(0) - (-3) - 0 = 0 + 3 - 0 = 3
Substituindo y + z + 2w = (-3) + 5 + 2(0) = -3 + 5 + 0 = 2 , x - 2y - z = 0 - 2(-3) - 5 = 0 + 6 - 5 = 1 , , nas equações:
  1. Primeira equação:
    O lado direito da primeira equação é 3. Então,
  2. Segunda equação:
    O lado direito da segunda equação é 2. Então,
  3. Terceira equação:
    O lado direito da terceira equação é -1. Então,
Como a terceira equação não foi satisfeita, a opção a) não é uma solução do sistema.

Passo 3

Agora, vamos verificar a opção b): 2x - y - w = 2(2) - 1 - 0 = 4 - 1 - 0 = 3
Substituindo y + z + 2w = 1 + 1 + 2(0) = 1 + 1 + 0 = 2 , x - 2y - z = 2 - 2(1) - 1 = 2 - 2 - 1 = -1 , , :
  1. Primeira equação:
    O lado direito da primeira equação é 3. Então,
  2. Segunda equação:
    O lado direito da segunda equação é 2. Então,
  3. Terceira equação:
    O lado direito da terceira equação é -1. Então,
Todas as equações foram satisfeitas com a opção b). Portanto, essa é uma solução do sistema.

Passo 4

Por curiosidade, vamos verificar a opção c): 2x - y - w = 2(-1) - (-4) - (-1) = -2 + 4 + 1 = 3
Substituindo y + z + 2w = -4 + 8 + 2(-1) = -4 + 8 - 2 = 2 , x - 2y - z = -1 - 2(-4) - 8 = -1 + 8 - 8 = -1 , , :
  1. Primeira equação:
    O lado direito da primeira equação é 3. Então,
  2. Segunda equação:
    O lado direito da segunda equação é 2. Então,
  3. Terceira equação:
    O lado direito da terceira equação é -1. Então,
Surpresa! A opção c) também satisfaz todas as equações, ou seja, é outra solução do sistema.

Resposta

As opções b) e c) são soluções particulares do sistema dado.

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