Determine as componentes tangencial e normal do vetor aceleração de uma particula que se move com vetor posição
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar as componentes tangencial e normal do vetor aceleração de uma partícula cujo vetor posição é
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente derivadas para encontrar velocidade e aceleração, além de entender as componentes tangencial e normal da aceleração.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor velocidade
. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o vetor aceleração
, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Passo 4
Para encontrar as componentes tangencial (
) e normal (
) da aceleração, precisamos primeiro entender que:
- A componente tangencial está relacionada à variação da velocidade ao longo do caminho.
- A componente normal está relacionada à mudança de direção da velocidade.
As fórmulas são:
Passo 5
Vamos calcular a magnitude da velocidade
:
Agora, vamos derivar isso em relação ao tempo para encontrar
:
Passo 6
Sabemos que a magnitude da aceleração
é:
Agora, podemos calcular
usando a fórmula mencionada:
Simplificando:
Resposta
As componentes da aceleração são: