Determine as componentes tangencial e normal do vetor aceleração de uma particula que se move com vetor posição
r(t) = t * i + 2 * t * j + t^2 * k

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar as componentes tangencial e normal do vetor aceleração de uma partícula cujo vetor posição é . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente derivadas para encontrar velocidade e aceleração, além de entender as componentes tangencial e normal da aceleração.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor velocidade . A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor aceleração , que é a derivada da velocidade em relação ao tempo:

Passo 4

Para encontrar as componentes tangencial ( ) e normal ( ) da aceleração, precisamos primeiro entender que:
  • A componente tangencial está relacionada à variação da velocidade ao longo do caminho.
  • A componente normal está relacionada à mudança de direção da velocidade.
As fórmulas são:

Passo 5

Vamos calcular a magnitude da velocidade :
Agora, vamos derivar isso em relação ao tempo para encontrar :

Passo 6

Sabemos que a magnitude da aceleração é:
Agora, podemos calcular usando a fórmula mencionada:
Simplificando:

Resposta

As componentes da aceleração são:

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