Encontre a derivada direcional de no ponto e na direção do vetor
(a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Isso está dentro do conteúdo de cálculo multivariável, especificamente sobre derivadas direcionais. Para resolver, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais e usar a fórmula da derivada direcional.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que a derivada direcional de uma função em um ponto na direção de um vetor é dada por:
onde e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente.

Passo 3

Vamos começar encontrando as derivadas parciais de em relação a e .
Primeiro, a derivada parcial em relação a :
Agora, a derivada parcial em relação a :

Passo 4

Em seguida, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto .
Primeiro, :
Agora, :
(Nota: Sabemos que e )

Passo 5

Agora, vamos identificar os componentes do vetor direção . Isso significa que e .

Passo 6

Por fim, aplicamos a fórmula da derivada direcional usando os valores que encontramos:

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção do vetor é -1.

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(a) ( ) .
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