Encontre a transformada de Laplace da função dada.
31. t^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a transformada de Laplace da função . A matéria envolvida aqui é a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta muito útil para resolver equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar usar a definição da Transformada de Laplace e algumas propriedades de integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Transformada de Laplace. Ela transforma uma função do tempo para uma função no domínio de frequência . A definição matemática é:
No nosso caso, .

Passo 3

Agora, vamos inserir na definição da Transformada de Laplace:
Esse é o que precisamos calcular.

Passo 4

Para resolver essa integral, vamos usar uma propriedade importante da Transformada de Laplace para funções da forma . A propriedade diz que:
Aqui, representa o fatorial de , que é o produto de todos os números inteiros positivos até .

Passo 5

Portanto, aplicando essa propriedade diretamente:
Isso simplifica bastante nosso cálculo, sem precisar resolver a integral diretamente.

Resposta

A transformada de Laplace de é:

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