Encontre a transformada de Laplace da função dada.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a transformada de Laplace da função
. A matéria envolvida aqui é a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta muito útil para resolver equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar usar a definição da Transformada de Laplace e algumas propriedades de integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Transformada de Laplace. Ela transforma uma função do tempo
para uma função no domínio de frequência
. A definição matemática é:
No nosso caso,
.
Passo 3
Agora, vamos inserir
na definição da Transformada de Laplace:
Esse é o que precisamos calcular.
Passo 4
Para resolver essa integral, vamos usar uma propriedade importante da Transformada de Laplace para funções da forma
. A propriedade diz que:
Aqui,
representa o fatorial de
, que é o produto de todos os números inteiros positivos até
.
Passo 5
Portanto, aplicando essa propriedade diretamente:
Isso simplifica bastante nosso cálculo, sem precisar resolver a integral diretamente.
Resposta
A transformada de Laplace de
é: