Encontre a transformada de Laplace de cada uma das funções periódicas a seguir. .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a transformada de Laplace de uma função periódica específica. Então, vamos usar conceitos de transformada de Laplace e funções periódicas para chegar na resposta. Para isso, vamos precisar da fórmula da transformada de Laplace para funções periódicas e fazer alguns cálculos de integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que nos deram:
Essa função é periódica com período , porque se repete a cada 4 unidades de tempo.
Passo 3
A transformada de Laplace para uma função periódica com período é dada pela fórmula:
Essa fórmula nos permite transformar funções que se repetem no tempo em uma forma que a gente consegue trabalhar mais facilmente em análise.
Passo 4
Vamos aplicar essa fórmula à nossa função . Sabemos que , então:
Mas nossa função tem duas partes, então vamos separar a integral em duas partes:
Passo 5
Agora, vamos resolver cada integral:
Primeira integral:
Segunda integral:
Passo 6
Agora, somamos as duas integrais:
Vamos simplificar essa expressão:
Passo 7
Finalmente, aplicamos a fórmula da transformada de Laplace:
Podemos fatorar para simplificar:
Resposta
A transformada de Laplace da função periódica dada é: