Encontre a transformada de Laplace de cada uma das funções periódicas a seguir.
f(t) = { x, se 0 <= t < 2; 4 - x, se 2 <= t < 4 }.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a transformada de Laplace de uma função periódica específica. Então, vamos usar conceitos de transformada de Laplace e funções periódicas para chegar na resposta. Para isso, vamos precisar da fórmula da transformada de Laplace para funções periódicas e fazer alguns cálculos de integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que nos deram:
Essa função é periódica com período , porque se repete a cada 4 unidades de tempo.

Passo 3

A transformada de Laplace para uma função periódica com período é dada pela fórmula:
Essa fórmula nos permite transformar funções que se repetem no tempo em uma forma que a gente consegue trabalhar mais facilmente em análise.

Passo 4

Vamos aplicar essa fórmula à nossa função . Sabemos que , então:
Mas nossa função tem duas partes, então vamos separar a integral em duas partes:

Passo 5

Agora, vamos resolver cada integral:
Primeira integral:
Segunda integral:

Passo 6

Agora, somamos as duas integrais:
Vamos simplificar essa expressão:

Passo 7

Finalmente, aplicamos a fórmula da transformada de Laplace:
Podemos fatorar para simplificar:

Resposta

A transformada de Laplace da função periódica dada é:

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