Esboce o gráfico dos seguintes campos vetoriais:
4.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o gráfico de um campo vetorial, especificamente o . Isso envolve entender vetores no plano cartesiano e como eles se comportam em cada ponto . Vamos precisar saber sobre campos vetoriais e como representar vetores graficamente.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a expressão do campo vetorial: . A parte é a raiz quadrada de , que na verdade é a distância do ponto até a origem, ou seja, o módulo do vetor posição.
Passo 3
Então, podemos reescrever o campo vetorial como , onde . Isso significa que em cada ponto , o vetor tem a mesma direção do vetor posição, mas seu tamanho é multiplicado pela distância até a origem.
Passo 4
Para esboçar o gráfico, vamos escolher alguns pontos e calcular o vetor correspondente. Por exemplo:
No ponto :
No ponto :
No ponto :
Passo 5
Observando esses vetores, percebemos que em todos os casos, o vetor resultante aponta para fora da origem, na mesma direção do vetor posição, mas com magnitude maior conforme nos afastamos da origem. Isso cria um padrão de vetores que “empurram” para fora, aumentando de tamanho à medida que nos distanciamos.
Passo 6
Além disso, notamos que o campo vetorial é simétrico em relação ao eixo e ao eixo , pois a expressão depende somente de , que é a mesma em todas as direções a uma mesma distância da origem.
Passo 7
Para finalizar o esboço, desenhamos alguns vetores no plano cartesiano seguindo as direções e magnitudes calculadas. A densidade dos vetores aumenta à medida que nos afastamos da origem, refletindo o aumento do módulo .
Resposta
O gráfico do campo vetorial consiste em vetores que partem da origem, apontando radialmente para fora, com comprimento aumentando proporcionalmente à distância do ponto até a origem. O esboço mostra vetores alinhados à direção de e cujo tamanho cresce conforme aumenta.