Seja
um campo vetorial. Usando o Teorema de Green mostre que se C é uma curva fechada de interior D e
é um vetor tangente unitário a cada ponto da curva C , então:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial
e uma curva fechada
que delimita uma região interior
. Queremos usar o Teorema de Green para mostrar que a integral de linha de
ao longo de
, onde
é o vetor tangente unitário em cada ponto de
, é igual à integral dupla do rotacional de
sobre
. Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema de Green e como aplicá-lo a esse contexto.
Passo 2
O Teorema de Green relaciona uma integral de linha ao longo de uma curva fechada
com uma integral dupla sobre a região
que
delimita. Em termos matemáticos, ele pode ser escrito como:
Aqui,
é o campo vetorial.
Passo 3
No nosso caso, queremos relacionar a integral de linha
com o rotacional de
. Primeiro, precisamos lembrar que o vetor tangente unitário
pode ser relacionado aos elementos
e
da curva
. Especificamente, podemos escrever:
Portanto, a integral de linha se torna:
Passo 4
Aplicando o Teorema de Green, substituímos a integral de linha pela integral dupla do rotacional de
:
O rotacional de
em duas dimensões é dado por:
Então, podemos escrever:
Resposta
Portanto, utilizamos o Teorema de Green para concluir que: