Seja um campo vetorial. Usando o Teorema de Green mostre que se C é uma curva fechada de interior D e é um vetor tangente unitário a cada ponto da curva C , então:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial e uma curva fechada que delimita uma região interior . Queremos usar o Teorema de Green para mostrar que a integral de linha de ao longo de , onde é o vetor tangente unitário em cada ponto de , é igual à integral dupla do rotacional de sobre . Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema de Green e como aplicá-lo a esse contexto.
Passo 2
O Teorema de Green relaciona uma integral de linha ao longo de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região que delimita. Em termos matemáticos, ele pode ser escrito como:
Aqui, é o campo vetorial.
Passo 3
No nosso caso, queremos relacionar a integral de linha com o rotacional de . Primeiro, precisamos lembrar que o vetor tangente unitário pode ser relacionado aos elementos e da curva . Especificamente, podemos escrever:
Portanto, a integral de linha se torna:
Passo 4
Aplicando o Teorema de Green, substituímos a integral de linha pela integral dupla do rotacional de :
O rotacional de em duas dimensões é dado por:
Então, podemos escrever:
Resposta
Portanto, utilizamos o Teorema de Green para concluir que: