Seja F: R^2 R^2 um campo vetorial. Usando o Teorema de Green mostre que se C é uma curva fechada de interior D e T(x, y) é um vetor tangente unitário a cada ponto da curva C , então:
ointC F cdot T d r=integral duplaD(nabla times F) cdot k d A

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial e uma curva fechada que delimita uma região interior . Queremos usar o Teorema de Green para mostrar que a integral de linha de ao longo de , onde é o vetor tangente unitário em cada ponto de , é igual à integral dupla do rotacional de sobre . Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema de Green e como aplicá-lo a esse contexto.

Passo 2

O Teorema de Green relaciona uma integral de linha ao longo de uma curva fechada ointC (P,dx + Q,dy) = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA com uma integral dupla sobre a região que delimita. Em termos matemáticos, ele pode ser escrito como:
Aqui, é o campo vetorial.

Passo 3

No nosso caso, queremos relacionar a integral de linha T , dr = (dx, dy) com o rotacional de ointC F cdot T , dr = ointC (P,dx + Q,dy) . Primeiro, precisamos lembrar que o vetor tangente unitário pode ser relacionado aos elementos e da curva . Especificamente, podemos escrever:
Portanto, a integral de linha se torna:

Passo 4

Aplicando o Teorema de Green, substituímos a integral de linha pela integral dupla do rotacional de ointC (P,dx + Q,dy) = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA :
nabla times F = ( 0, 0, partial Qpartial x - partial Ppartial y )
O rotacional de integral duplaD ( nabla times F ) cdot k , dA = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA em duas dimensões é dado por:
Então, podemos escrever:

Resposta

Portanto, utilizamos o Teorema de Green para concluir que:
ointC F cdot T , dr = integral duplaD ( nabla times F ) cdot k , dA

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