Determine o comprimento de arco das curvas:
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no exercício: precisamos encontrar o comprimento de arco da curva dada por
, no intervalo de
de 0 a 2. Para resolver isso, vamos utilizar o conceito de cálculo de comprimento de arco, que envolve derivadas e integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula para o comprimento de arco de uma curva
entre
e
:
Precisamos encontrar a derivada de
em relação a
.
Passo 3
Vamos calcular
. Dada a função:
Aplicamos a regra da cadeia para a derivada:
Passo 4
Agora, vamos substituir
na fórmula do comprimento de arco:
Simplificamos dentro da raiz:
Passo 5
Observamos que
, então:
Como a raiz quadrada de um quadrado é o valor absoluto, e
é sempre positivo, temos:
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral:
Substituindo os limites:
Resposta
O comprimento de arco da curva é
unidades.
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e
gira em torno das retas:
.
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.