Determine o comprimento de arco das curvas:
y = (2 + x^2)^(3/2) / 3, 0 <= x <= 2.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no exercício: precisamos encontrar o comprimento de arco da curva dada por , no intervalo de de 0 a 2. Para resolver isso, vamos utilizar o conceito de cálculo de comprimento de arco, que envolve derivadas e integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula para o comprimento de arco de uma curva entre e :
Precisamos encontrar a derivada de em relação a .

Passo 3

Vamos calcular . Dada a função:
Aplicamos a regra da cadeia para a derivada:

Passo 4

Agora, vamos substituir na fórmula do comprimento de arco:
Simplificamos dentro da raiz:

Passo 5

Observamos que , então:
Como a raiz quadrada de um quadrado é o valor absoluto, e é sempre positivo, temos:

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral:
Substituindo os limites:

Resposta

O comprimento de arco da curva é unidades.

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