Use o método do fator integrante para encontrar a solução geral das seguintes equações lineares:
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação linear usando o método do fator integrante. A equação que temos é:
Aqui, vamos precisar entender como aplicar o fator integrante para resolver equações lineares de primeira ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de equações lineares, que é:
Para isso, vamos dividir todos os termos da equação original por
:
Agora identificamos
e
.
Passo 3
O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é dado por:
Vamos calcular a integral de
:
Para resolver essa integral, observamos que o numerador é a derivada do denominador. Portanto:
Então, o fator integrante é:
Passo 4
Agora, multiplicamos toda a equação padrão pelo fator integrante
:
Simplificando os termos:
Passo 5
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto do fator integrante com
:
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a
:
Integrando:
Passo 6
Finalmente, vamos resolver para
:
Resposta
A solução geral da equação é:
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Determine o volume do sólido gerado quando a região limitada por
e
gira em torno das retas:
.
Determine o volume do sólido de revolução, gerado pela rotação em torno do eixo das ordenadas, da região limitada pelos gráficos das funções:
e
.
Determine o comprimento de arco das curvas:
.
Use o método do fator integrante para encontrar a solução geral das seguintes equações lineares: