Use o método do fator integrante para encontrar a solução geral das seguintes equações lineares:
(d) (1+x^2) y' + 4 x y = (1+x^2)^-2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação linear usando o método do fator integrante. A equação que temos é:
Aqui, vamos precisar entender como aplicar o fator integrante para resolver equações lineares de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de equações lineares, que é:
Para isso, vamos dividir todos os termos da equação original por :
Agora identificamos e .

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é dado por:
Vamos calcular a integral de :
Para resolver essa integral, observamos que o numerador é a derivada do denominador. Portanto:
Então, o fator integrante é:

Passo 4

Agora, multiplicamos toda a equação padrão pelo fator integrante :
Simplificando os termos:

Passo 5

Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto do fator integrante com :
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a :
Integrando:

Passo 6

Finalmente, vamos resolver para :

Resposta

A solução geral da equação é:

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