Use o método do fator integrante para encontrar a solução geral das seguintes equações lineares:
(d) (1+x^2) y' + 4 x y = (1+x^2)^-2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação linear usando o método do fator integrante. A equação que temos é:
Aqui, vamos precisar entender como aplicar o fator integrante para resolver equações lineares de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de equações lineares, que é:
Para isso, vamos dividir todos os termos da equação original por :
Agora identificamos e .

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é dado por:
Vamos calcular a integral de :
Para resolver essa integral, observamos que o numerador é a derivada do denominador. Portanto:
Então, o fator integrante é:

Passo 4

Agora, multiplicamos toda a equação padrão pelo fator integrante :
Simplificando os termos:

Passo 5

Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto do fator integrante com :
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a :
Integrando:

Passo 6

Finalmente, vamos resolver para :

Resposta

A solução geral da equação é:

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Determine o volume do sólido gerado quando a região limitada por y = x^2 e y = raiz(x) gira em torno das retas:
y = -3.
Determine o volume do sólido de revolução, gerado pela rotação em torno do eixo das ordenadas, da região limitada pelos gráficos das funções:
y = x^2, y = 0, y = 1 e x = 0.
Determine o comprimento de arco das curvas:
y = (2 + x^2)^(3/2) / 3, 0 <= x <= 2.
Use o método do fator integrante para encontrar a solução geral das seguintes equações lineares:
y' + 3y = x + e^(-2x)